Abstract

We demonstrate a novel scheme to control the excitation symmetry for an odd mode in a photonic crystal waveguide and investigate the spectral signature of this slow light mode. An odd-mode Mach–Zehnder coupler is introduced to transform mode symmetry and excite a high-purity odd mode with 20 dB signal contrast over the background. Assisted by a mixed-mode Mach–Zehnder coupler, slow light mode beating can be observed and is utilized to determine the group index of this odd mode. With slow light enhancement, this odd mode can help enable novel miniaturized devices such as one-way waveguides.

© 2012 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
    [CrossRef]
  2. S. Y. Lin, E. Chow, S. G. Johnson, and J. D. Joannopoulos, Opt. Lett. 25, 1297 (2000).
    [CrossRef]
  3. M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
    [CrossRef]
  4. W. T. Lau and S. H. Fan, Appl. Phys. Lett. 81, 3915 (2002).
    [CrossRef]
  5. A. H. Atabaki, E. S. Hosseini, B. Momeni, and A. Adibi, Opt. Lett. 33, 2608 (2008).
    [CrossRef]
  6. M. Soljacic and J. D. Joannopoulos, Nat. Mater. 3, 211 (2004).
    [CrossRef]
  7. T. F. Krauss, J. Phys. D 40, 2666 (2007).
    [CrossRef]
  8. T. Baba, Nat. Photon. 2, 465 (2008).
    [CrossRef]
  9. Y. A. Vlasov, M. O’Boyle, H. F. Hamann, and S. J. McNab, Nature 438, 65 (2005).
    [CrossRef]
  10. L. L. Gu, W. Jiang, X. N. Chen, L. Wang, and R. T. Chen, Appl. Phys. Lett. 90, 071105 (2007).
    [CrossRef]
  11. D. M. Beggs, T. P. White, L. O’Faolain, and T. F. Krauss, Opt. Lett. 33, 147 (2008).
    [CrossRef]
  12. Z. Yu and S. H. Fan, Nat. Photon. 3, 91 (2009).
    [CrossRef]
  13. B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
    [CrossRef]
  14. E. Dulkeith, S. J. McNab, and Y. A. Vlasov, Phys. Rev. B 72, 115102 (2005).
    [CrossRef]
  15. W. Song, R. A. Integlia, and W. Jiang, Phys. Rev. B 82, 235306 (2010).
    [CrossRef]
  16. E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
    [CrossRef]
  17. L. O’Faolain, S. A. Schulz, D. M. Beggs, T. P. White, M. Spasenovic, L. Kuipers, F. Morichetti, A. Melloni, S. Mazoyer, J. P. Hugonin, P. Lalanne, and T. F. Krauss, Opt. Express 18, 27627 (2010).
    [CrossRef]
  18. M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
    [CrossRef]
  19. H. H. Tao, C. Ren, Y. Z. Liu, Q. K. Wang, D. Z. Zhang, and Z. Y. Li, Opt. Express 18, 23994 (2010).
    [CrossRef]
  20. B. T. Lee and S. Y. Shin, Opt. Lett. 28, 1660 (2003).
    [CrossRef]
  21. M. W. Pruessner, J. B. Khurgin, T. H. Stievater, W. S. Rabinovich, R. Bass, J. B. Boos, and V. J. Urick, Opt. Lett. 36, 2230 (2011).
    [CrossRef]
  22. J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
    [CrossRef]
  23. Y. Jiao, S. H. Fan, and D. A. B. Miller, Opt. Lett. 30, 141 (2005).
    [CrossRef]
  24. J. Y. Lee and P. M. Fauchet, Opt. Lett. 37, 58 (2012).
    [CrossRef]

2012 (1)

2011 (1)

2010 (3)

2009 (1)

Z. Yu and S. H. Fan, Nat. Photon. 3, 91 (2009).
[CrossRef]

2008 (3)

2007 (2)

T. F. Krauss, J. Phys. D 40, 2666 (2007).
[CrossRef]

L. L. Gu, W. Jiang, X. N. Chen, L. Wang, and R. T. Chen, Appl. Phys. Lett. 90, 071105 (2007).
[CrossRef]

2005 (4)

E. Dulkeith, S. J. McNab, and Y. A. Vlasov, Phys. Rev. B 72, 115102 (2005).
[CrossRef]

E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
[CrossRef]

Y. A. Vlasov, M. O’Boyle, H. F. Hamann, and S. J. McNab, Nature 438, 65 (2005).
[CrossRef]

Y. Jiao, S. H. Fan, and D. A. B. Miller, Opt. Lett. 30, 141 (2005).
[CrossRef]

2004 (3)

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

M. Soljacic and J. D. Joannopoulos, Nat. Mater. 3, 211 (2004).
[CrossRef]

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

2003 (1)

2002 (2)

M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
[CrossRef]

W. T. Lau and S. H. Fan, Appl. Phys. Lett. 81, 3915 (2002).
[CrossRef]

2000 (2)

M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
[CrossRef]

S. Y. Lin, E. Chow, S. G. Johnson, and J. D. Joannopoulos, Opt. Lett. 25, 1297 (2000).
[CrossRef]

1998 (1)

J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
[CrossRef]

Adibi, A.

Atabaki, A. H.

Baba, T.

T. Baba, Nat. Photon. 2, 465 (2008).
[CrossRef]

Bass, R.

Beggs, D. M.

Besse, P. A.

J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
[CrossRef]

Boos, J. B.

Calvo, V.

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

Cao, J. R.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

Charvolin, T.

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

Chen, R. T.

L. L. Gu, W. Jiang, X. N. Chen, L. Wang, and R. T. Chen, Appl. Phys. Lett. 90, 071105 (2007).
[CrossRef]

Chen, X. N.

L. L. Gu, W. Jiang, X. N. Chen, L. Wang, and R. T. Chen, Appl. Phys. Lett. 90, 071105 (2007).
[CrossRef]

Choi, S. J.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

Chow, E.

Cluzel, B.

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

Dapkus, P. D.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

de Fornel, F.

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

Doll, T.

M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
[CrossRef]

Dulk, M.

J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
[CrossRef]

Dulkeith, E.

E. Dulkeith, S. J. McNab, and Y. A. Vlasov, Phys. Rev. B 72, 115102 (2005).
[CrossRef]

Fan, S. H.

Z. Yu and S. H. Fan, Nat. Photon. 3, 91 (2009).
[CrossRef]

Y. Jiao, S. H. Fan, and D. A. B. Miller, Opt. Lett. 30, 141 (2005).
[CrossRef]

W. T. Lau and S. H. Fan, Appl. Phys. Lett. 81, 3915 (2002).
[CrossRef]

Fauchet, P. M.

Fischer, S.

J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
[CrossRef]

Gamper, E.

J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
[CrossRef]

Gerard, D.

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

Gu, L. L.

L. L. Gu, W. Jiang, X. N. Chen, L. Wang, and R. T. Chen, Appl. Phys. Lett. 90, 071105 (2007).
[CrossRef]

Hadji, E.

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

Hamann, H. F.

Y. A. Vlasov, M. O’Boyle, H. F. Hamann, and S. J. McNab, Nature 438, 65 (2005).
[CrossRef]

Hosseini, E. S.

Hughes, S.

E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
[CrossRef]

Hugonin, J. P.

Integlia, R. A.

W. Song, R. A. Integlia, and W. Jiang, Phys. Rev. B 82, 235306 (2010).
[CrossRef]

Jiang, W.

W. Song, R. A. Integlia, and W. Jiang, Phys. Rev. B 82, 235306 (2010).
[CrossRef]

L. L. Gu, W. Jiang, X. N. Chen, L. Wang, and R. T. Chen, Appl. Phys. Lett. 90, 071105 (2007).
[CrossRef]

Jiao, Y.

Joannopoulos, J. D.

Johnson, S. G.

Khurgin, J. B.

Kim, W. J.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

Krauss, T. F.

Kuang, W.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

Kuipers, L.

Kuramochi, E.

E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
[CrossRef]

Lalanne, P.

Lau, W. T.

W. T. Lau and S. H. Fan, Appl. Phys. Lett. 81, 3915 (2002).
[CrossRef]

Lee, B. T.

Lee, J. Y.

Leuthold, J.

J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
[CrossRef]

Li, Z. Y.

Lin, S. Y.

Liu, Y. Z.

Loncar, M.

M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
[CrossRef]

Marshall, W. K.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

Mazoyer, S.

McNab, S. J.

E. Dulkeith, S. J. McNab, and Y. A. Vlasov, Phys. Rev. B 72, 115102 (2005).
[CrossRef]

Y. A. Vlasov, M. O’Boyle, H. F. Hamann, and S. J. McNab, Nature 438, 65 (2005).
[CrossRef]

Melchior, H.

J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
[CrossRef]

Melloni, A.

Miller, D. A. B.

Momeni, B.

Morichetti, F.

Nedeljkovic, D.

M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
[CrossRef]

Notomi, M.

E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
[CrossRef]

M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
[CrossRef]

O’Boyle, M.

Y. A. Vlasov, M. O’Boyle, H. F. Hamann, and S. J. McNab, Nature 438, 65 (2005).
[CrossRef]

O’Brien, J. D.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

O’Faolain, L.

Pearsall, T. P.

M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
[CrossRef]

Picard, E.

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

Pruessner, M. W.

Rabinovich, W. S.

Ramunno, L.

E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
[CrossRef]

Ren, C.

Scherer, A.

M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
[CrossRef]

Schulz, S. A.

Shih, M. H.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

Shin, S. Y.

Shinya, A.

E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
[CrossRef]

M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
[CrossRef]

Soljacic, M.

M. Soljacic and J. D. Joannopoulos, Nat. Mater. 3, 211 (2004).
[CrossRef]

Song, W.

W. Song, R. A. Integlia, and W. Jiang, Phys. Rev. B 82, 235306 (2010).
[CrossRef]

Spasenovic, M.

Stievater, T. H.

Takahashi, C.

M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
[CrossRef]

Takahashi, J.

M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
[CrossRef]

Tao, H. H.

Urick, V. J.

Vlasov, Y. A.

E. Dulkeith, S. J. McNab, and Y. A. Vlasov, Phys. Rev. B 72, 115102 (2005).
[CrossRef]

Y. A. Vlasov, M. O’Boyle, H. F. Hamann, and S. J. McNab, Nature 438, 65 (2005).
[CrossRef]

Vuckovic, J.

M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
[CrossRef]

Wang, L.

L. L. Gu, W. Jiang, X. N. Chen, L. Wang, and R. T. Chen, Appl. Phys. Lett. 90, 071105 (2007).
[CrossRef]

Wang, Q. K.

Watanabe, T.

E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
[CrossRef]

White, T. P.

Yamada, K.

M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
[CrossRef]

Yokohama, I.

M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
[CrossRef]

Yu, Z.

Z. Yu and S. H. Fan, Nat. Photon. 3, 91 (2009).
[CrossRef]

Yukawa, H.

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

Zhang, D. Z.

Appl. Phys. Lett. (5)

M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, and T. P. Pearsall, Appl. Phys. Lett. 77, 1937 (2000).
[CrossRef]

W. T. Lau and S. H. Fan, Appl. Phys. Lett. 81, 3915 (2002).
[CrossRef]

L. L. Gu, W. Jiang, X. N. Chen, L. Wang, and R. T. Chen, Appl. Phys. Lett. 90, 071105 (2007).
[CrossRef]

B. Cluzel, D. Gerard, E. Picard, T. Charvolin, V. Calvo, E. Hadji, and F. de FornelAppl. Phys. Lett. 85, 2682 (2004).
[CrossRef]

M. H. Shih, W. J. Kim, W. Kuang, J. R. Cao, H. Yukawa, S. J. Choi, J. D. O’Brien, P. D. Dapkus, and W. K. Marshall, Appl. Phys. Lett. 84, 460 (2004).
[CrossRef]

Electron. Lett. (1)

J. Leuthold, P. A. Besse, E. Gamper, M. Dulk, S. Fischer, and H. Melchior, Electron. Lett. 34, 1598 (1998).
[CrossRef]

IEEE J. Quantum Electron. (1)

M. Notomi, A. Shinya, K. Yamada, J. Takahashi, C. Takahashi, and I. Yokohama, IEEE J. Quantum Electron. 38, 736 (2002).
[CrossRef]

J. Phys. D (1)

T. F. Krauss, J. Phys. D 40, 2666 (2007).
[CrossRef]

Nat. Mater. (1)

M. Soljacic and J. D. Joannopoulos, Nat. Mater. 3, 211 (2004).
[CrossRef]

Nat. Photon. (2)

T. Baba, Nat. Photon. 2, 465 (2008).
[CrossRef]

Z. Yu and S. H. Fan, Nat. Photon. 3, 91 (2009).
[CrossRef]

Nature (1)

Y. A. Vlasov, M. O’Boyle, H. F. Hamann, and S. J. McNab, Nature 438, 65 (2005).
[CrossRef]

Opt. Express (2)

Opt. Lett. (7)

Phys. Rev. B (3)

E. Dulkeith, S. J. McNab, and Y. A. Vlasov, Phys. Rev. B 72, 115102 (2005).
[CrossRef]

W. Song, R. A. Integlia, and W. Jiang, Phys. Rev. B 82, 235306 (2010).
[CrossRef]

E. Kuramochi, M. Notomi, S. Hughes, A. Shinya, T. Watanabe, and L. Ramunno, Phys. Rev. B 72, 161318 (2005).
[CrossRef]

Cited By

OSA participates in CrossRef's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (4)

Fig. 1.
Fig. 1.

PCW photonic band structures. (a) Band diagram for r=0.325a. The dark grey region indicates the lower photonic band. Hz field profiles for even and odd modes at k=π/a are shown in the insets (PCW axis along y); (b) variation of the band edge and cutoff of even (blue) and odd (green) TE-like modes with hole radius. For each TE-like mode, the lower line (solid) gives the band edge; the upper line (dashed) gives the cutoff frequency where a mode crosses the lightline. The TM cutoff is also shown.

Fig. 2.
Fig. 2.

FDTD simulation results; (a) schematic of the MZC structure. The right arm has two extra waveguide segments (in orange) with a combined length of (Δl)π. The input and output Ex field profiles (cross section) are shown in the insets (200 nm per division on axes); (b) PCW coupling efficiency. Insets: coupled Ex field patterns at 1390 nm. Light (in odd or even mode) enters from a Si waveguide at the bottom of each figure and into a PCW upward.

Fig. 3.
Fig. 3.

SEM image of a PCW with odd-mode MZCs. Inset: close-up view of the coupling region at one end of the PCW.

Fig. 4.
Fig. 4.

Transmission spectra for 20 μm long PCWs: (a) with odd-mode MZCs; (b) direct transmission without MZC and transmission with mixed-mode MZCs; (c) Δng obtained from the mixed-mode spectrum; the solid line delineates the trend; (d) Fourier transform of the transmission spectrum of another directly coupled PCW (the peak position gives ng,even).

Metrics