Abstract

Bloch oscillations (BOs) of polychromatic beams in circularly curved optical waveguide arrays are smeared out owing to the dependence of the BO spatial period on the wavelength. Here it is shown that restoring of the self-imaging property of the array and approximate BOs over relatively broad spectral ranges can be achieved by the insertion of suitable lumped phase slips uniformly applied across the array.

© 2009 Optical Society of America

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Figures (4)

Fig. 1
Fig. 1

(a) Schematic of a curved waveguide array. (b) Refractive index profile n ( η ) n s of the array used in numerical simulations ( a = 8 μ m , n s = 1.45 ). (c) Behavior of Γ ( λ ) , entering in Eq. (3), versus wavelength for (i) the 8-cm-long circularly curved array without lumped phase slips (solid curve), (ii) α 1 = α 3 = λ 0 / ( 2 a n s ) and α 2 = 0 (dashed curve), (iii) for α 1 = α 2 = α 3 = λ 0 / ( 3 a n s ) (dotted curve). (d) Behavior of waveguide coupling rate Δ versus wavelength.

Fig. 2
Fig. 2

Intensity beam evolution in (a) the polychromatic and (b) the monochromatic (at carrier wavelength) regimes in a L = 8 - cm -long circularly curved array without lumped phase slips. The insets at the top are the intensity profiles at the output plane. Parameter values are given in the text.

Fig. 3
Fig. 3

Polychromatic BOs as obtained by insertion of two lumped waveguide tilts at s 1 = 2   cm and s 3 = 6   cm (tilt angle θ = θ B = 25   mrad ). In (b) the output intensity profiles at the output plane for the different spectral components are depicted.

Fig. 4
Fig. 4

Same as Fig. 3, but with the insertion of three lumped waveguide tilts at s 1 = 2   cm , s 2 = 4   cm , and s 3 = 6   cm (tilt angle θ = 2 θ B / 3 16.7   mrad ).

Equations (7)

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i ψ s = 2 2 n s 2 ψ η 2 + [ n s n ( η ) ] ψ + n s κ ( s ) η ψ ,
i c ̇ n = Δ ( λ ) ( c n + 1 + c n 1 ) + 2 π n s κ ( s ) a n λ c n ,
| c n ( s ) | 2 = J n 2 [ 2 Γ ( λ ) ] ,
q ( s , λ ) = 0 s d ξ   exp [ i γ ( ξ ) / λ ] ,     γ ( s ) = 2 π n s a 0 s d ξ κ ( ξ ) .
s B ( λ ) = λ R / ( n s a )
q ( λ ) = L N exp ( i π λ 0 / λ ) sin ( π λ 0 / λ ) π λ 0 / λ F ( π λ / λ 0 ) ,
k = 0 N 1 ( k + a n s λ 0 j = 0 k α j ) l exp ( 2 π i a n s λ 0 j = 0 k α j ) = 0

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