Abstract

A simple formalism is reported for studying the modes of an infinite two-dimensional (2-D) phase-locked array of vertical-cavity surface-emitting diode lasers. In this approach, the Helmholtz equation is approximately separated into products of solutions of the associated one-dimensional (linear) arrays. This formalism allows the knowledge gained from years of research into the modal properties of linear diode arrays to be applied directly to 2-D arrays. As a result, it is expected that both 2-D gain-guided and index-guided arrays (except those with excess gain in the low-index channels) will lase in the high-order mode characterized by emission into four distinct off-axis far-field lobes. In contrast, it is expected that properly constructed 2-D leaky-mode arrays would lase preferentially in the fundamental mode well above threshold.

© 1990 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. K. Iga, F. Koyama, S. Kinoshita, IEEE J. Quantum Electron. 24, 1845 (1988), and references therein.
    [Crossref]
  2. M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
    [Crossref]
  3. L. M. Zinciewicz, T. J. Roth, L. J. Maust, D. Tran, D. Botez, Appl. Phys. Lett. 54, 1959 (1989).
    [Crossref]
  4. P. L. Gourley, S. K. Lyo, L. R. Dawson, Appl. Phys. Lett. 54, 1397 (1989).
    [Crossref]
  5. J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
    [Crossref]
  6. C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
    [Crossref]
  7. Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
    [Crossref]
  8. H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
    [Crossref]
  9. G. R. Hadley, Opt. Lett. 14, 308 (1989).
    [Crossref] [PubMed]
  10. L. J. Mawst, D. Botez, T. J. Roth, G. Peterson, Appl. Phys. Lett. 55, 10 (1989).
    [Crossref]

1990 (1)

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

1989 (7)

L. J. Mawst, D. Botez, T. J. Roth, G. Peterson, Appl. Phys. Lett. 55, 10 (1989).
[Crossref]

G. R. Hadley, Opt. Lett. 14, 308 (1989).
[Crossref] [PubMed]

L. M. Zinciewicz, T. J. Roth, L. J. Maust, D. Tran, D. Botez, Appl. Phys. Lett. 54, 1959 (1989).
[Crossref]

P. L. Gourley, S. K. Lyo, L. R. Dawson, Appl. Phys. Lett. 54, 1397 (1989).
[Crossref]

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
[Crossref]

1988 (1)

K. Iga, F. Koyama, S. Kinoshita, IEEE J. Quantum Electron. 24, 1845 (1988), and references therein.
[Crossref]

1987 (1)

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

Botez, D.

L. M. Zinciewicz, T. J. Roth, L. J. Maust, D. Tran, D. Botez, Appl. Phys. Lett. 54, 1959 (1989).
[Crossref]

L. J. Mawst, D. Botez, T. J. Roth, G. Peterson, Appl. Phys. Lett. 55, 10 (1989).
[Crossref]

Brueck, S. R. J.

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Dawson, L. R.

P. L. Gourley, S. K. Lyo, L. R. Dawson, Appl. Phys. Lett. 54, 1397 (1989).
[Crossref]

Florez, L. T.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
[Crossref]

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

Gourley, P. L.

P. L. Gourley, S. K. Lyo, L. R. Dawson, Appl. Phys. Lett. 54, 1397 (1989).
[Crossref]

Hadley, G. R.

Harbison, J. P.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
[Crossref]

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

Hayes, J. R.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Hsin, W.

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

Iga, K.

K. Iga, F. Koyama, S. Kinoshita, IEEE J. Quantum Electron. 24, 1845 (1988), and references therein.
[Crossref]

Jewell, J. L.

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
[Crossref]

Kapon, E.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Kinoshita, S.

K. Iga, F. Koyama, S. Kinoshita, IEEE J. Quantum Electron. 24, 1845 (1988), and references therein.
[Crossref]

Koyama, F.

K. Iga, F. Koyama, S. Kinoshita, IEEE J. Quantum Electron. 24, 1845 (1988), and references therein.
[Crossref]

Kwon, Y.-S.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Lee, Y. H.

Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
[Crossref]

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

Lyo, S. K.

P. L. Gourley, S. K. Lyo, L. R. Dawson, Appl. Phys. Lett. 54, 1397 (1989).
[Crossref]

Mahbobzadeh, M.

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Maust, L. J.

L. M. Zinciewicz, T. J. Roth, L. J. Maust, D. Tran, D. Botez, Appl. Phys. Lett. 54, 1959 (1989).
[Crossref]

Mawst, L. J.

L. J. Mawst, D. Botez, T. J. Roth, G. Peterson, Appl. Phys. Lett. 55, 10 (1989).
[Crossref]

McCall, S. L.

Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
[Crossref]

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

McInerney, J. G.

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Ogura, M.

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

Paek, E. G.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Peterson, G.

L. J. Mawst, D. Botez, T. J. Roth, G. Peterson, Appl. Phys. Lett. 55, 10 (1989).
[Crossref]

Raja, M. Y. A.

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Roth, T. J.

L. M. Zinciewicz, T. J. Roth, L. J. Maust, D. Tran, D. Botez, Appl. Phys. Lett. 54, 1959 (1989).
[Crossref]

L. J. Mawst, D. Botez, T. J. Roth, G. Peterson, Appl. Phys. Lett. 55, 10 (1989).
[Crossref]

Schaus, C. F.

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Schaus, H. E.

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Scherer, A.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
[Crossref]

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

Sun, S.

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Tran, D.

L. M. Zinciewicz, T. J. Roth, L. J. Maust, D. Tran, D. Botez, Appl. Phys. Lett. 54, 1959 (1989).
[Crossref]

Van der Gaag, B. P.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Von Lehmen, A.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Walker, S.

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

Wang, S.

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

Wang, S. C.

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

Whinnery, J. R.

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

Wu, M.

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

Yang, J. J.

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

Yoo, H.-J.

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

Zinciewicz, L. M.

L. M. Zinciewicz, T. J. Roth, L. J. Maust, D. Tran, D. Botez, Appl. Phys. Lett. 54, 1959 (1989).
[Crossref]

Appl. Phys. Lett. (5)

M. Ogura, W. Hsin, M. Wu, S. Wang, J. R. Whinnery, S. C. Wang, J. J. Yang, Appl. Phys. Lett. 51, 1655 (1987).
[Crossref]

L. M. Zinciewicz, T. J. Roth, L. J. Maust, D. Tran, D. Botez, Appl. Phys. Lett. 54, 1959 (1989).
[Crossref]

P. L. Gourley, S. K. Lyo, L. R. Dawson, Appl. Phys. Lett. 54, 1397 (1989).
[Crossref]

H.-J. Yoo, A. Scherer, J. P. Harbison, L. T. Florez, E. G. Paek, B. P. Van der Gaag, J. R. Hayes, A. Von Lehmen, E. Kapon, Y.-S. Kwon, Appl. Phys. Lett. 56, 1198 (1990).
[Crossref]

L. J. Mawst, D. Botez, T. J. Roth, G. Peterson, Appl. Phys. Lett. 55, 10 (1989).
[Crossref]

Electron. Lett. (3)

J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, Y. H. Lee, S. Walker, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1123 (1989).
[Crossref]

C. F. Schaus, M. Y. A. Raja, J. G. McInerney, H. E. Schaus, S. Sun, M. Mahbobzadeh, S. R. J. Brueck, Electron. Lett. 25, 637 (1989).
[Crossref]

Y. H. Lee, J. L. Jewell, A. Scherer, S. L. McCall, J. P. Harbison, L. T. Florez, Electron. Lett. 25, 1377 (1989).
[Crossref]

IEEE J. Quantum Electron. (1)

K. Iga, F. Koyama, S. Kinoshita, IEEE J. Quantum Electron. 24, 1845 (1988), and references therein.
[Crossref]

Opt. Lett. (1)

Cited By

OSA participates in Crossref's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (2)

Fig. 1
Fig. 1

Schematic of a proposed 2-D VCSE phased array fabricated by etching a vertical cavity laser structure, followed by regrowth or deposition of material whose index may be either higher or lower than that of the original laser material. The array geometry is assumed to consist of squares in order to simplify the analysis.

Fig. 2
Fig. 2

Near-field intensity contours for four modes of the infinite structure of Fig. 1, calculated using an accurate numerical model, Field polarity for the primary intensity peaks is indicated on the figure. (a) Fundamental evanescent mode, (b) high-order evanescent mode, (c) fundamental leaky mode, (d) high-order leaky mode.

Equations (7)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

2 H x 2 + 2 H y 2 = k 0 2 [ ̅ ( x , y ) ] H ,
( x , y ) r + Δ [ u ( x ) + u ( y ) 1 ] ,
H i j ( x , y ) = ψ i ( x ) ψ j ( y ) ,
2 ψ i x 2 = k 0 2 [ ̅ i r Δ u ( x ) ] ψ i
F i j 2 D ( θ x , θ y ) = F i 1 D ( θ x ) F j 1 D ( θ y ) ,
̅ i j = ̅ i + ̅ j r Δ .
Δ ̅ 2 D = 2 Δ ̅ 1 D .

Metrics