Abstract

Many semiconductor light modulators rely on changes in excitonic absorption induced by electric fields. We study their temporal response in the framework of a one-dimensional model, for which we solve exactly the time-dependent Schrödinger equation. For a homogeneously broadened system, the electroabsorption response time is found to be simply the inverse of the (field-induced) exciton linewidth, which can be as short as 50 fsec.

© 1990 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. For a recent review, see S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, D. A. B. Miller, Adv. Phys. 38, 89 (1989).
    [Crossref]
  2. D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
    [Crossref]
  3. U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
    [Crossref]
  4. G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
    [Crossref]
  5. W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
    [Crossref]
  6. M. Yamanishi, Phys. Rev. Lett. 59, 1014 (1987).
    [Crossref] [PubMed]
  7. D. S. Chemla, D. A. B. Miller, S. Schmitt-Rink, Phys. Rev. Lett. 59, 1018 (1987).
    [Crossref] [PubMed]
  8. W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).
  9. L. V. Keldysh, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1945 (1964)[Sov. Phys. JETP 20, 1307 (1965)].
  10. A. M. Perelomov, V. S. Popov, M. V. Terent'ev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50, 1393 (1966)[Sov. Phys. JETP 23, 924 (1966)].
  11. S. Geltman, J. Phys. B 10, 831 (1977).
    [Crossref]
  12. J. H. Eberly, Q. Su, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 62, 881 (1989).
    [Crossref] [PubMed]
  13. R. J. Elliott, Phys. Rev. 108, 1384 (1957).
    [Crossref]
  14. C. H. Brito-Cruz, J. P. Gordon, P. C. Becker, R. L. Fork, C. V. Shank, IEEE J. Quantum Electron. 24, 261 (1988);B. Fluegel, N. Peyghambarian, G. Olbright, M. Lindberg, S. W. Koch, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 59, 2588 (1987).
    [Crossref] [PubMed]

1989 (3)

For a recent review, see S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, D. A. B. Miller, Adv. Phys. 38, 89 (1989).
[Crossref]

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

J. H. Eberly, Q. Su, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 62, 881 (1989).
[Crossref] [PubMed]

1988 (1)

C. H. Brito-Cruz, J. P. Gordon, P. C. Becker, R. L. Fork, C. V. Shank, IEEE J. Quantum Electron. 24, 261 (1988);B. Fluegel, N. Peyghambarian, G. Olbright, M. Lindberg, S. W. Koch, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 59, 2588 (1987).
[Crossref] [PubMed]

1987 (3)

M. Yamanishi, Phys. Rev. Lett. 59, 1014 (1987).
[Crossref] [PubMed]

D. S. Chemla, D. A. B. Miller, S. Schmitt-Rink, Phys. Rev. Lett. 59, 1018 (1987).
[Crossref] [PubMed]

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

1986 (1)

W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
[Crossref]

1985 (1)

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

1977 (1)

S. Geltman, J. Phys. B 10, 831 (1977).
[Crossref]

1966 (1)

A. M. Perelomov, V. S. Popov, M. V. Terent'ev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50, 1393 (1966)[Sov. Phys. JETP 23, 924 (1966)].

1964 (1)

L. V. Keldysh, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1945 (1964)[Sov. Phys. JETP 20, 1307 (1965)].

1957 (1)

R. J. Elliott, Phys. Rev. 108, 1384 (1957).
[Crossref]

Bar-Joseph, I.

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

Becker, P. C.

C. H. Brito-Cruz, J. P. Gordon, P. C. Becker, R. L. Fork, C. V. Shank, IEEE J. Quantum Electron. 24, 261 (1988);B. Fluegel, N. Peyghambarian, G. Olbright, M. Lindberg, S. W. Koch, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 59, 2588 (1987).
[Crossref] [PubMed]

Bowers, J. E.

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

Boyd, G. D.

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

Brito-Cruz, C. H.

C. H. Brito-Cruz, J. P. Gordon, P. C. Becker, R. L. Fork, C. V. Shank, IEEE J. Quantum Electron. 24, 261 (1988);B. Fluegel, N. Peyghambarian, G. Olbright, M. Lindberg, S. W. Koch, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 59, 2588 (1987).
[Crossref] [PubMed]

Burrus, C. A.

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

Chemla, D. S.

For a recent review, see S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, D. A. B. Miller, Adv. Phys. 38, 89 (1989).
[Crossref]

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

D. S. Chemla, D. A. B. Miller, S. Schmitt-Rink, Phys. Rev. Lett. 59, 1018 (1987).
[Crossref] [PubMed]

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
[Crossref]

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Chirovsky, L. M. F.

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

Damen, T. C.

W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
[Crossref]

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

Eberly, J. H.

J. H. Eberly, Q. Su, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 62, 881 (1989).
[Crossref] [PubMed]

Eisenstein, G.

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

Elliott, R. J.

R. J. Elliott, Phys. Rev. 108, 1384 (1957).
[Crossref]

English, J. H.

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Fork, R. L.

C. H. Brito-Cruz, J. P. Gordon, P. C. Becker, R. L. Fork, C. V. Shank, IEEE J. Quantum Electron. 24, 261 (1988);B. Fluegel, N. Peyghambarian, G. Olbright, M. Lindberg, S. W. Koch, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 59, 2588 (1987).
[Crossref] [PubMed]

Geltman, S.

S. Geltman, J. Phys. B 10, 831 (1977).
[Crossref]

Goossen, K. W.

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Gordon, J. P.

C. H. Brito-Cruz, J. P. Gordon, P. C. Becker, R. L. Fork, C. V. Shank, IEEE J. Quantum Electron. 24, 261 (1988);B. Fluegel, N. Peyghambarian, G. Olbright, M. Lindberg, S. W. Koch, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 59, 2588 (1987).
[Crossref] [PubMed]

Gossard, A. C.

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
[Crossref]

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Henry, J. E.

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Javanainen, J.

J. H. Eberly, Q. Su, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 62, 881 (1989).
[Crossref] [PubMed]

Keldysh, L. V.

L. V. Keldysh, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1945 (1964)[Sov. Phys. JETP 20, 1307 (1965)].

Knox, W. H.

W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
[Crossref]

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Koren, U.

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

Li, K. D.

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Miller, B. I.

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

Miller, D. A. B.

For a recent review, see S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, D. A. B. Miller, Adv. Phys. 38, 89 (1989).
[Crossref]

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

D. S. Chemla, D. A. B. Miller, S. Schmitt-Rink, Phys. Rev. Lett. 59, 1018 (1987).
[Crossref] [PubMed]

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
[Crossref]

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Perelomov, A. M.

A. M. Perelomov, V. S. Popov, M. V. Terent'ev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50, 1393 (1966)[Sov. Phys. JETP 23, 924 (1966)].

Popov, V. S.

A. M. Perelomov, V. S. Popov, M. V. Terent'ev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50, 1393 (1966)[Sov. Phys. JETP 23, 924 (1966)].

Schmitt-Rink, S.

For a recent review, see S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, D. A. B. Miller, Adv. Phys. 38, 89 (1989).
[Crossref]

D. S. Chemla, D. A. B. Miller, S. Schmitt-Rink, Phys. Rev. Lett. 59, 1018 (1987).
[Crossref] [PubMed]

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Shank, C. V.

C. H. Brito-Cruz, J. P. Gordon, P. C. Becker, R. L. Fork, C. V. Shank, IEEE J. Quantum Electron. 24, 261 (1988);B. Fluegel, N. Peyghambarian, G. Olbright, M. Lindberg, S. W. Koch, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 59, 2588 (1987).
[Crossref] [PubMed]

W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
[Crossref]

Soccolich, C. E.

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

Su, Q.

J. H. Eberly, Q. Su, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 62, 881 (1989).
[Crossref] [PubMed]

Tell, B.

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Terent'ev, M. V.

A. M. Perelomov, V. S. Popov, M. V. Terent'ev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50, 1393 (1966)[Sov. Phys. JETP 23, 924 (1966)].

Tucker, R. S.

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

Wiegmann, W.

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

Wood, T. H.

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

Yamanishi, M.

M. Yamanishi, Phys. Rev. Lett. 59, 1014 (1987).
[Crossref] [PubMed]

Adv. Phys. (1)

For a recent review, see S. Schmitt-Rink, D. S. Chemla, D. A. B. Miller, Adv. Phys. 38, 89 (1989).
[Crossref]

Appl. Phys. Lett. (1)

W. H. Knox, D. A. B. Miller, T. C. Damen, D. S. Chemla, C. V. Shank, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 48, 864 (1986).
[Crossref]

Electron. Lett. (2)

U. Koren, B. I. Miller, R. S. Tucker, G. Eisenstein, I. Bar-Joseph, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, Electron. Lett. 23, 621 (1987).
[Crossref]

G. D. Boyd, J. E. Bowers, C. E. Soccolich, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, L. M. F. Chirovsky, A. C. Gossard, J. H. English, Electron. Lett. 25, 558 (1989).
[Crossref]

IEEE J. Quantum Electron. (1)

C. H. Brito-Cruz, J. P. Gordon, P. C. Becker, R. L. Fork, C. V. Shank, IEEE J. Quantum Electron. 24, 261 (1988);B. Fluegel, N. Peyghambarian, G. Olbright, M. Lindberg, S. W. Koch, M. Joffre, D. Hulin, A. Migus, A. Antonetti, Phys. Rev. Lett. 59, 2588 (1987).
[Crossref] [PubMed]

J. Phys. B (1)

S. Geltman, J. Phys. B 10, 831 (1977).
[Crossref]

Phys. Rev. (1)

R. J. Elliott, Phys. Rev. 108, 1384 (1957).
[Crossref]

Phys. Rev. Lett. (4)

J. H. Eberly, Q. Su, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 62, 881 (1989).
[Crossref] [PubMed]

D. A. B. Miller, D. S. Chemla, T. C. Damen, A. C. Gossard, W. Wiegmann, T. H. Wood, C. A. Burrus, Phys. Rev. Lett. 53, 2173 (1985);Phys. Rev. B 32, 1043 (1985).
[Crossref]

M. Yamanishi, Phys. Rev. Lett. 59, 1014 (1987).
[Crossref] [PubMed]

D. S. Chemla, D. A. B. Miller, S. Schmitt-Rink, Phys. Rev. Lett. 59, 1018 (1987).
[Crossref] [PubMed]

Zh. Eksp. Teor. Fiz. (2)

L. V. Keldysh, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1945 (1964)[Sov. Phys. JETP 20, 1307 (1965)].

A. M. Perelomov, V. S. Popov, M. V. Terent'ev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50, 1393 (1966)[Sov. Phys. JETP 23, 924 (1966)].

Other (1)

W. H. Knox, J. E. Henry, K. W. Goossen, K. D. Li, B. Tell, D. A. B. Miller, D. S. Chemla, A. C. Gossard, J. H. English, S. Schmitt-Rink, “Femtosecond excitonic optoelectronics,” IEEE J. Quantum Electron, (to be published).

Cited By

OSA participates in Crossref's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (2)

Fig. 1
Fig. 1

Excitonic electroabsorption spectra for various static electric-field strengths f (in units of the ionization field R/ea) and a phenomenological exciton width at zero field γ = 0.2R.

Fig. 2
Fig. 2

Differential absorption spectra, as measured by the difference between the absorption without field and the absorption with field, for various time delays T (in units of R−1) for (a) f = 0.6 and (b) f = 2.

Equations (5)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

χ ( ω ) = 0 d t exp ( i ω t ) χ ( t + T , T ) .
[ i t + i γ + 1 2 m 2 x 2 + V ( x ) e F ( t ) x ] χ ( x ; t , t ) = μ 2 δ ( x ) δ ( t t ) ,
[ i t + i γ + 2 x 2 + 2 δ ( x ) f ( t ) x ] χ ( x ; t , t ) = 2 δ ( x ) δ ( t t ) .
χ ( t , t ) = χ e h ( t , t ) + t t d t χ e h ( t , t ) χ ( t , t ) .
χ e h ( t , t ) = θ ( t t ) ( 1 + i ) [ 2 π ( t t ) ] 1 / 2 exp [ γ ( t t ) ] × exp { i t t d t q 2 ( t ) + i [ t t d t q ( t ) ] 2 ( t t ) } ,

Metrics