Abstract

In this Letter, telecom-band degenerate-frequency photon pairs are generated in a specific mode of a silicon microring cavity by the nondegenerate spontaneous four-wave mixing (SFWM) process, under two continuous-wave pumps at resonance wavelength of two different cavity modes. The ratio of coincidence to accidental coincidence is up to 100 under a time bin width of 5 ns, showing their characteristics of quantum correlation. Their quantum interference in balanced and unbalanced Mach–Zehnder interferometers is investigated theoretically and experimentally, and the results show potential in quantum metrology and quantum information.

© 2014 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. J. E. Sharping, K. F. Lee, M. A. Foster, A. C. Turner, B. S. Schmidt, M. Lipson, A. L. Gaeta, and P. Kumar, Opt. Express 14, 12388 (2006).
    [CrossRef]
  2. P. P. Absil, J. V. Hryniewicz, B. E. Little, P. S. Cho, R. A. Wilson, L. G. Joneckis, and P. T. Ho, Opt. Lett. 25, 554 (2000).
    [CrossRef]
  3. H. Jung, C. Xiong, K. Y. Fong, X. F. Zhang, and H. X. Tang, Opt. Lett. 38, 2810 (2013).
    [CrossRef]
  4. Z. Yang, P. Chak, A. D. Bristow, H. M. van Driel, R. Iyer, J. S. Aitchison, A. L. Smirl, and J. E. Sipe, Opt. Lett. 32, 826 (2007).
    [CrossRef]
  5. S. Clemmen, K. P. Huy, W. Bogaerts, R. G. Baets, Ph. Emplit, and S. Massar, Opt. Express 17, 16558 (2009).
    [CrossRef]
  6. S. Azzini, D. Grassani, M. J. Strain, M. Sorel, L. G. Helt, J. E. Sipe, M. Liscidini, M. Galli, and D. Bajoni, Opt. Express 20, 23100 (2012).
    [CrossRef]
  7. S. Azzini, D. Grassani, M. Galli, L. C. Andreani, M. Sorel, M. J. Strain, L. G. Helt, J. E. Sipe, M. Liscidini, and D. Bajoni, Opt. Lett. 37, 3807 (2012).
    [CrossRef]
  8. Q. Lin, O. J. Painter, and G. P. Agrawal, Opt. Express 15, 16604 (2007).
    [CrossRef]
  9. E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
    [CrossRef]
  10. M. Fiorentino, P. L. Voss, J. E. Sharping, and P. Kumar, IEEE Photon. Technol. Lett. 14, 983 (2002).
    [CrossRef]
  11. J. Fan and A. Dogariu, Opt. Lett. 30, 1530 (2005).
    [CrossRef]
  12. J. Chen, K. F. Lee, C. Liang, and P. Kumar, Opt. Lett. 31, 2798 (2006).
    [CrossRef]
  13. J. P. Dowling, Contemp. Phys. 49, 125 (2008).
    [CrossRef]
  14. E. Bimbard, N. Jain, A. MacRae, and A. I. Lvovsky, Nat. Photonics 4, 243 (2010).
    [CrossRef]
  15. J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
    [CrossRef]
  16. F. Zappa, A. Lacaita, S. Cova, and P. Lovati, Opt. Eng. 35, 938 (1996).
    [CrossRef]
  17. S. Dong, Q. Zhou, W. Zhang, Y. He, W. Zhang, L. You, Y. Huang, and J. Peng, Opt. Express 22, 359 (2014).
    [CrossRef]
  18. L. G. Helt, Z. Yang, M. Liscidiniand, and J. E. Sipe, Opt. Lett. 35, 3006 (2010).
    [CrossRef]
  19. Z. Y. Ou, X. Y. Zou, L. J. Wang, and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 65, 321 (1990).
    [CrossRef]

2014 (1)

2013 (3)

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

H. Jung, C. Xiong, K. Y. Fong, X. F. Zhang, and H. X. Tang, Opt. Lett. 38, 2810 (2013).
[CrossRef]

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

2012 (2)

2010 (2)

L. G. Helt, Z. Yang, M. Liscidiniand, and J. E. Sipe, Opt. Lett. 35, 3006 (2010).
[CrossRef]

E. Bimbard, N. Jain, A. MacRae, and A. I. Lvovsky, Nat. Photonics 4, 243 (2010).
[CrossRef]

2009 (1)

2008 (1)

J. P. Dowling, Contemp. Phys. 49, 125 (2008).
[CrossRef]

2007 (2)

2006 (2)

2005 (1)

2002 (1)

M. Fiorentino, P. L. Voss, J. E. Sharping, and P. Kumar, IEEE Photon. Technol. Lett. 14, 983 (2002).
[CrossRef]

2000 (1)

1996 (1)

F. Zappa, A. Lacaita, S. Cova, and P. Lovati, Opt. Eng. 35, 938 (1996).
[CrossRef]

1990 (1)

Z. Y. Ou, X. Y. Zou, L. J. Wang, and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 65, 321 (1990).
[CrossRef]

Absil, P. P.

Agrawal, G. P.

Aitchison, J. S.

Andreani, L. C.

Azzini, S.

Baets, R. G.

Bajoni, D.

Bimbard, E.

E. Bimbard, N. Jain, A. MacRae, and A. I. Lvovsky, Nat. Photonics 4, 243 (2010).
[CrossRef]

Bogaerts, W.

Bonneau, D.

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Bristow, A. D.

Chak, P.

Chen, J.

Cho, P. S.

Clark, A. S.

Clemmen, S.

Cova, S.

F. Zappa, A. Lacaita, S. Cova, and P. Lovati, Opt. Eng. 35, 938 (1996).
[CrossRef]

Dogariu, A.

Dong, S.

Dorenbos, S. N.

Dowling, J. P.

J. P. Dowling, Contemp. Phys. 49, 125 (2008).
[CrossRef]

Emplit, Ph.

Engin, E.

Ezaki, M.

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Fan, J.

Fiorentino, M.

M. Fiorentino, P. L. Voss, J. E. Sharping, and P. Kumar, IEEE Photon. Technol. Lett. 14, 983 (2002).
[CrossRef]

Fong, K. Y.

Foster, M. A.

Gaeta, A. L.

Galli, M.

Grassani, D.

Hadfield, R. H.

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

He, Y.

Helt, L. G.

Ho, P. T.

Hryniewicz, J. V.

Huang, Y.

Huy, K. P.

Iizuka, N.

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

Iyer, R.

Jain, N.

E. Bimbard, N. Jain, A. MacRae, and A. I. Lvovsky, Nat. Photonics 4, 243 (2010).
[CrossRef]

Joneckis, L. G.

Jung, H.

Kumar, P.

Lacaita, A.

F. Zappa, A. Lacaita, S. Cova, and P. Lovati, Opt. Eng. 35, 938 (1996).
[CrossRef]

Lee, K. F.

Liang, C.

Lin, Q.

Lipson, M.

Liscidini, M.

Liscidiniand, M.

Little, B. E.

Lovati, P.

F. Zappa, A. Lacaita, S. Cova, and P. Lovati, Opt. Eng. 35, 938 (1996).
[CrossRef]

Lvovsky, A. I.

E. Bimbard, N. Jain, A. MacRae, and A. I. Lvovsky, Nat. Photonics 4, 243 (2010).
[CrossRef]

MacRae, A.

E. Bimbard, N. Jain, A. MacRae, and A. I. Lvovsky, Nat. Photonics 4, 243 (2010).
[CrossRef]

Mandel, L.

Z. Y. Ou, X. Y. Zou, L. J. Wang, and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 65, 321 (1990).
[CrossRef]

Marshall, G. D.

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Massar, S.

Natarajan, C. M.

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

O’Brien, J. L.

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

Ohira, K.

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Ou, Z. Y.

Z. Y. Ou, X. Y. Zou, L. J. Wang, and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 65, 321 (1990).
[CrossRef]

Painter, O. J.

Peng, J.

Rarity, J. G.

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Schmidt, B. S.

Sharping, J. E.

Silverstone, J. W.

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Sipe, J. E.

Smirl, A. L.

Sorel, M.

Strain, M. J.

Suzuki, N.

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Tang, H. X.

Tanner, M. G.

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Thompson, M. G.

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

Turner, A. C.

van Driel, H. M.

Voss, P. L.

M. Fiorentino, P. L. Voss, J. E. Sharping, and P. Kumar, IEEE Photon. Technol. Lett. 14, 983 (2002).
[CrossRef]

Wang, L. J.

Z. Y. Ou, X. Y. Zou, L. J. Wang, and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 65, 321 (1990).
[CrossRef]

Wilson, R. A.

Xiong, C.

Yang, Z.

Yoshida, H.

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

You, L.

Zappa, F.

F. Zappa, A. Lacaita, S. Cova, and P. Lovati, Opt. Eng. 35, 938 (1996).
[CrossRef]

Zhang, W.

Zhang, X. F.

Zhou, Q.

Zou, X. Y.

Z. Y. Ou, X. Y. Zou, L. J. Wang, and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 65, 321 (1990).
[CrossRef]

Zwiller, V.

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

E. Engin, D. Bonneau, C. M. Natarajan, A. S. Clark, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, S. N. Dorenbos, V. Zwiller, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Opt. Express 21, 27826 (2013).
[CrossRef]

Contemp. Phys. (1)

J. P. Dowling, Contemp. Phys. 49, 125 (2008).
[CrossRef]

IEEE Photon. Technol. Lett. (1)

M. Fiorentino, P. L. Voss, J. E. Sharping, and P. Kumar, IEEE Photon. Technol. Lett. 14, 983 (2002).
[CrossRef]

Nat. Photonics (2)

E. Bimbard, N. Jain, A. MacRae, and A. I. Lvovsky, Nat. Photonics 4, 243 (2010).
[CrossRef]

J. W. Silverstone, D. Bonneau, K. Ohira, N. Suzuki, H. Yoshida, N. Iizuka, M. Ezaki, C. M. Natarajan, M. G. Tanner, R. H. Hadfield, V. Zwiller, G. D. Marshall, J. G. Rarity, J. L. O’Brien, and M. G. Thompson, Nat. Photonics 8, 104 (2013).
[CrossRef]

Opt. Eng. (1)

F. Zappa, A. Lacaita, S. Cova, and P. Lovati, Opt. Eng. 35, 938 (1996).
[CrossRef]

Opt. Express (6)

Opt. Lett. (7)

Phys. Rev. Lett. (1)

Z. Y. Ou, X. Y. Zou, L. J. Wang, and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 65, 321 (1990).
[CrossRef]

Cited By

OSA participates in CrossRef's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (5)

Fig. 1.
Fig. 1.

Experiment setup. (a) Photo of the silicon microring cavity sample. (b) Transmission spectrum of the sample, showing the three cavity modes used in the experiment. (c) Sketch of the experiment setup. PC, polarization controller; TOBF, tunable optical bandpass filter; FC, 50/50 fiber coupler; SPD, single-photon detector.

Fig. 2.
Fig. 2.

Modified count rates (C) of SPD2 under different pumping condition and pump levels. The black square and red dots are the C when only Pump1 or Pump2 is on. The down triangles are the sum of them, and the up triangles are the C measured when both of the pumps are on. The lines are quadratic fitting curves of the experiment results.

Fig. 3.
Fig. 3.

CARs under different modified count rates of SPD2.

Fig. 4.
Fig. 4.

Theoretical model for the quantum interference of the photon pairs in a MZI.

Fig. 5.
Fig. 5.

Experiment results of the quantum interference of the generated degenerate-frequency photon pairs in a MZI. (a) ΔL=0 and (b) ΔL=12cm.

Tables (1)

Tables Icon

Table 1. Characteristics of the Cavity Modes

Equations (8)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

|ψ=dωsdωiΦ(ωs,ωi)a^s(ωs)a^i(ωi)|0Φ(ωs,ωi)=AF(ωs)F(ωi)δ(ωp1+ωp2ωsωi).
|F(ω)|2=1|κ|2[1+(ωω0)2/δω2],
E^1(t)=12[E^s(t)E^s(tΔLc)eiφ+E^i(t)E^i(tΔLc)eiφ],E^2(t)=i2[E^s(t)+E^s(tΔLc)eiφ+E^i(t)+E^i(tΔLc)eiφ],
E^s,i(t)=12πdωs,ia^(ωs,i)ejωs,i(tz/c),
R1,2TRG(2)(τ)dτ,
G(2)(τ)=E^1(t)E^2(t+τ)E^2(t+τ)E^1(t)=116|g(0,τ)+g(τ,0)+g(0,τΔLc)eiφ+g(τΔLc,0)eiφg(ΔLc,τ)eiφg(τ,ΔLc)eiφg(ΔLc,τΔLc)e2iφg(τΔLc,ΔLc)e2iφ|2.
g(t1,t2)=12πΦ(ωs,ωi)eiωst1iωit2dωsdωi.
R1,2(112(1+2δω·ΔLc)e2δω·ΔLc12cos2φ).

Metrics