Abstract

We discuss the existence of nonlinear modes sustained by graphene layers in dielectric waveguides. Taking advantage of the almost two dimensional nature of graphene, we introduce the nonlinear effect as a parameter in the continuity equations. We then apply our modeling to a simple slab waveguide to enlighten how graphene can be used to induce huge nonlinear phase shifts at easily accessible power levels.

© 2013 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
    [CrossRef]
  2. F. Bonaccorso, Z. Sun, T. Hasan, and A. C. Ferrari, Nat. Photonics 4, 611 (2010).
    [CrossRef]
  3. A. Vakil and N. Engheta, Science 332, 1291 (2011).
    [CrossRef]
  4. M. Liu, X. Yin, and X. Zhang, Nano Lett. 12, 1482(2012).
    [CrossRef]
  5. M. Midrio, S. Boscolo, M. Moresco, M. Romagnoli, C. De Angelis, A. Locatelli, and A.-D. Capobianco, Opt. Express 20, 23144 (2012).
    [CrossRef]
  6. Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
    [CrossRef]
  7. J. T. Kim and C. G. Choi, Opt. Express 20, 3556 (2012).
    [CrossRef]
  8. K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gellert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192 (2012).
    [CrossRef]
  9. R. Alaee, C. Menzel, C. Rockstuhl, and F. Lederer, Opt. Express 20, 18370 (2012).
    [CrossRef]
  10. S. A. Mikhailov and K. Ziegler, J. Phys. Condens. Matter 20, 384204 (2008).
    [CrossRef]
  11. K. L. Ishikawa, Phys. Rev. B 82, 201402 (2010).
    [CrossRef]
  12. A. R. Wright, X. G. Xu, J. C. Cao, and C. Zhang, Appl. Phys. Lett. 95, 072101 (2009).
    [CrossRef]
  13. E. Hendry, P. J. Hale, J. Moger, and A. K. Savchenko, Phys. Rev. Lett. 105, 097401 (2010).
    [CrossRef]
  14. H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
    [CrossRef]
  15. H. Zhang, S. Virally, Q. Bao, L. K. Ping, S. Massar, N. Godbout, and P. Kockaert, Opt. Lett. 37, 1856 (2012).
    [CrossRef]
  16. C. De Angelis, A. Laureti-Palma, G. F. Nalesso, and C. G. Someda, Opt. Quantum Electron. 29, 217 (1997).
    [CrossRef]
  17. T. Stauber, N. M. R. Peres, and A. K. Geim, Phys. Rev. B 78, 085432 (2008).
    [CrossRef]
  18. G. W. Hanson, IEEE Trans. Antennas Propag. 56, 747 (2008).
    [CrossRef]
  19. COMSOL Multiphysics 4.3, http://www.comsol.com .
  20. F. H. L. Koppens, D. E. Chang, and F. J. Garcia de Abajo, Nano Lett. 11, 3370 (2011).
    [CrossRef]
  21. J. Christensen, A. Manjavacas, S. Thongrattanasiri, F. H. L. Koppens, and F. J. Garcia de Abajo, ACS Nano 6, 431 (2012).
    [CrossRef]
  22. A. Martinez, K. Fuse, and S. Yamashita, Appl. Phys. Lett. 99, 121107 (2011).
    [CrossRef]
  23. A. Locatelli, A.-D. Capobianco, M. Midrio, S. Boscolo, and C. De Angelis, Opt. Express 20, 28479 (2012).
    [CrossRef]

2012 (8)

2011 (5)

F. H. L. Koppens, D. E. Chang, and F. J. Garcia de Abajo, Nano Lett. 11, 3370 (2011).
[CrossRef]

A. Martinez, K. Fuse, and S. Yamashita, Appl. Phys. Lett. 99, 121107 (2011).
[CrossRef]

A. Vakil and N. Engheta, Science 332, 1291 (2011).
[CrossRef]

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

2010 (3)

F. Bonaccorso, Z. Sun, T. Hasan, and A. C. Ferrari, Nat. Photonics 4, 611 (2010).
[CrossRef]

K. L. Ishikawa, Phys. Rev. B 82, 201402 (2010).
[CrossRef]

E. Hendry, P. J. Hale, J. Moger, and A. K. Savchenko, Phys. Rev. Lett. 105, 097401 (2010).
[CrossRef]

2009 (1)

A. R. Wright, X. G. Xu, J. C. Cao, and C. Zhang, Appl. Phys. Lett. 95, 072101 (2009).
[CrossRef]

2008 (3)

S. A. Mikhailov and K. Ziegler, J. Phys. Condens. Matter 20, 384204 (2008).
[CrossRef]

T. Stauber, N. M. R. Peres, and A. K. Geim, Phys. Rev. B 78, 085432 (2008).
[CrossRef]

G. W. Hanson, IEEE Trans. Antennas Propag. 56, 747 (2008).
[CrossRef]

2004 (1)

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

1997 (1)

C. De Angelis, A. Laureti-Palma, G. F. Nalesso, and C. G. Someda, Opt. Quantum Electron. 29, 217 (1997).
[CrossRef]

Alaee, R.

Bao, Q.

H. Zhang, S. Virally, Q. Bao, L. K. Ping, S. Massar, N. Godbout, and P. Kockaert, Opt. Lett. 37, 1856 (2012).
[CrossRef]

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

Bonaccorso, F.

F. Bonaccorso, Z. Sun, T. Hasan, and A. C. Ferrari, Nat. Photonics 4, 611 (2010).
[CrossRef]

Boscolo, S.

Cao, J. C.

A. R. Wright, X. G. Xu, J. C. Cao, and C. Zhang, Appl. Phys. Lett. 95, 072101 (2009).
[CrossRef]

Capobianco, A.-D.

Chang, D. E.

F. H. L. Koppens, D. E. Chang, and F. J. Garcia de Abajo, Nano Lett. 11, 3370 (2011).
[CrossRef]

Chen, W.

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Choi, C. G.

Christensen, J.

J. Christensen, A. Manjavacas, S. Thongrattanasiri, F. H. L. Koppens, and F. J. Garcia de Abajo, ACS Nano 6, 431 (2012).
[CrossRef]

Colombo, L.

K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gellert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192 (2012).
[CrossRef]

De Angelis, C.

Dubonos, S. V.

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

Engheta, N.

A. Vakil and N. Engheta, Science 332, 1291 (2011).
[CrossRef]

Fal’ko, V. I.

K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gellert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192 (2012).
[CrossRef]

Feng, X.

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Ferrari, A. C.

F. Bonaccorso, Z. Sun, T. Hasan, and A. C. Ferrari, Nat. Photonics 4, 611 (2010).
[CrossRef]

Firsov, A. A.

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

Fuse, K.

A. Martinez, K. Fuse, and S. Yamashita, Appl. Phys. Lett. 99, 121107 (2011).
[CrossRef]

Garcia de Abajo, F. J.

J. Christensen, A. Manjavacas, S. Thongrattanasiri, F. H. L. Koppens, and F. J. Garcia de Abajo, ACS Nano 6, 431 (2012).
[CrossRef]

F. H. L. Koppens, D. E. Chang, and F. J. Garcia de Abajo, Nano Lett. 11, 3370 (2011).
[CrossRef]

Geim, A. K.

T. Stauber, N. M. R. Peres, and A. K. Geim, Phys. Rev. B 78, 085432 (2008).
[CrossRef]

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

Gellert, P. R.

K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gellert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192 (2012).
[CrossRef]

Godbout, N.

Grigorieva, I. V.

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

Hale, P. J.

E. Hendry, P. J. Hale, J. Moger, and A. K. Savchenko, Phys. Rev. Lett. 105, 097401 (2010).
[CrossRef]

Hanson, G. W.

G. W. Hanson, IEEE Trans. Antennas Propag. 56, 747 (2008).
[CrossRef]

Hasan, T.

F. Bonaccorso, Z. Sun, T. Hasan, and A. C. Ferrari, Nat. Photonics 4, 611 (2010).
[CrossRef]

Hendry, E.

E. Hendry, P. J. Hale, J. Moger, and A. K. Savchenko, Phys. Rev. Lett. 105, 097401 (2010).
[CrossRef]

Huang, H.

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Ishikawa, K. L.

K. L. Ishikawa, Phys. Rev. B 82, 201402 (2010).
[CrossRef]

Ji, W.

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Jiang, D.

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

Kim, J. T.

Kim, K.

K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gellert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192 (2012).
[CrossRef]

Kockaert, P.

Koppens, F. H. L.

J. Christensen, A. Manjavacas, S. Thongrattanasiri, F. H. L. Koppens, and F. J. Garcia de Abajo, ACS Nano 6, 431 (2012).
[CrossRef]

F. H. L. Koppens, D. E. Chang, and F. J. Garcia de Abajo, Nano Lett. 11, 3370 (2011).
[CrossRef]

Laureti-Palma, A.

C. De Angelis, A. Laureti-Palma, G. F. Nalesso, and C. G. Someda, Opt. Quantum Electron. 29, 217 (1997).
[CrossRef]

Lederer, F.

Lim, C.

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

Liu, M.

M. Liu, X. Yin, and X. Zhang, Nano Lett. 12, 1482(2012).
[CrossRef]

Locatelli, A.

Loh, K. P.

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

Manjavacas, A.

J. Christensen, A. Manjavacas, S. Thongrattanasiri, F. H. L. Koppens, and F. J. Garcia de Abajo, ACS Nano 6, 431 (2012).
[CrossRef]

Martinez, A.

A. Martinez, K. Fuse, and S. Yamashita, Appl. Phys. Lett. 99, 121107 (2011).
[CrossRef]

Massar, S.

Menzel, C.

Midrio, M.

Mikhailov, S. A.

S. A. Mikhailov and K. Ziegler, J. Phys. Condens. Matter 20, 384204 (2008).
[CrossRef]

Moger, J.

E. Hendry, P. J. Hale, J. Moger, and A. K. Savchenko, Phys. Rev. Lett. 105, 097401 (2010).
[CrossRef]

Moresco, M.

Morozov, S. V.

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

Nalesso, G. F.

C. De Angelis, A. Laureti-Palma, G. F. Nalesso, and C. G. Someda, Opt. Quantum Electron. 29, 217 (1997).
[CrossRef]

Ni, Z.

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

Novoselov, K. S.

K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gellert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192 (2012).
[CrossRef]

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

Peres, N. M. R.

T. Stauber, N. M. R. Peres, and A. K. Geim, Phys. Rev. B 78, 085432 (2008).
[CrossRef]

Ping, L. K.

Rockstuhl, C.

Romagnoli, M.

Savchenko, A. K.

E. Hendry, P. J. Hale, J. Moger, and A. K. Savchenko, Phys. Rev. Lett. 105, 097401 (2010).
[CrossRef]

Schwab, M. G.

K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gellert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192 (2012).
[CrossRef]

Someda, C. G.

C. De Angelis, A. Laureti-Palma, G. F. Nalesso, and C. G. Someda, Opt. Quantum Electron. 29, 217 (1997).
[CrossRef]

Stauber, T.

T. Stauber, N. M. R. Peres, and A. K. Geim, Phys. Rev. B 78, 085432 (2008).
[CrossRef]

Sun, Z.

F. Bonaccorso, Z. Sun, T. Hasan, and A. C. Ferrari, Nat. Photonics 4, 611 (2010).
[CrossRef]

Tang, D. Y.

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

Thongrattanasiri, S.

J. Christensen, A. Manjavacas, S. Thongrattanasiri, F. H. L. Koppens, and F. J. Garcia de Abajo, ACS Nano 6, 431 (2012).
[CrossRef]

Vakil, A.

A. Vakil and N. Engheta, Science 332, 1291 (2011).
[CrossRef]

Virally, S.

Wang, B.

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

Wang, Q.

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Wang, Y.

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

Wee, A. T. S.

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Wright, A. R.

A. R. Wright, X. G. Xu, J. C. Cao, and C. Zhang, Appl. Phys. Lett. 95, 072101 (2009).
[CrossRef]

Xu, X. G.

A. R. Wright, X. G. Xu, J. C. Cao, and C. Zhang, Appl. Phys. Lett. 95, 072101 (2009).
[CrossRef]

Yamashita, S.

A. Martinez, K. Fuse, and S. Yamashita, Appl. Phys. Lett. 99, 121107 (2011).
[CrossRef]

Yang, H.

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Yin, X.

M. Liu, X. Yin, and X. Zhang, Nano Lett. 12, 1482(2012).
[CrossRef]

Zhang, C.

A. R. Wright, X. G. Xu, J. C. Cao, and C. Zhang, Appl. Phys. Lett. 95, 072101 (2009).
[CrossRef]

Zhang, H.

H. Zhang, S. Virally, Q. Bao, L. K. Ping, S. Massar, N. Godbout, and P. Kockaert, Opt. Lett. 37, 1856 (2012).
[CrossRef]

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

Zhang, X.

M. Liu, X. Yin, and X. Zhang, Nano Lett. 12, 1482(2012).
[CrossRef]

Zhang, Y.

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

Ziegler, K.

S. A. Mikhailov and K. Ziegler, J. Phys. Condens. Matter 20, 384204 (2008).
[CrossRef]

ACS Nano (1)

J. Christensen, A. Manjavacas, S. Thongrattanasiri, F. H. L. Koppens, and F. J. Garcia de Abajo, ACS Nano 6, 431 (2012).
[CrossRef]

Appl. Phys. Lett. (2)

A. Martinez, K. Fuse, and S. Yamashita, Appl. Phys. Lett. 99, 121107 (2011).
[CrossRef]

A. R. Wright, X. G. Xu, J. C. Cao, and C. Zhang, Appl. Phys. Lett. 95, 072101 (2009).
[CrossRef]

IEEE Trans. Antennas Propag. (1)

G. W. Hanson, IEEE Trans. Antennas Propag. 56, 747 (2008).
[CrossRef]

J. Phys. Condens. Matter (1)

S. A. Mikhailov and K. Ziegler, J. Phys. Condens. Matter 20, 384204 (2008).
[CrossRef]

Nano Lett. (3)

F. H. L. Koppens, D. E. Chang, and F. J. Garcia de Abajo, Nano Lett. 11, 3370 (2011).
[CrossRef]

M. Liu, X. Yin, and X. Zhang, Nano Lett. 12, 1482(2012).
[CrossRef]

H. Yang, X. Feng, Q. Wang, H. Huang, W. Chen, A. T. S. Wee, and W. Ji, Nano Lett. 11, 2622 (2011).
[CrossRef]

Nat. Photonics (2)

Q. Bao, H. Zhang, B. Wang, Z. Ni, C. Lim, Y. Wang, D. Y. Tang, and K. P. Loh, Nat. Photonics 5, 411 (2011).
[CrossRef]

F. Bonaccorso, Z. Sun, T. Hasan, and A. C. Ferrari, Nat. Photonics 4, 611 (2010).
[CrossRef]

Nature (1)

K. S. Novoselov, V. I. Fal’ko, L. Colombo, P. R. Gellert, M. G. Schwab, and K. Kim, Nature 490, 192 (2012).
[CrossRef]

Opt. Express (4)

Opt. Lett. (1)

Opt. Quantum Electron. (1)

C. De Angelis, A. Laureti-Palma, G. F. Nalesso, and C. G. Someda, Opt. Quantum Electron. 29, 217 (1997).
[CrossRef]

Phys. Rev. B (2)

T. Stauber, N. M. R. Peres, and A. K. Geim, Phys. Rev. B 78, 085432 (2008).
[CrossRef]

K. L. Ishikawa, Phys. Rev. B 82, 201402 (2010).
[CrossRef]

Phys. Rev. Lett. (1)

E. Hendry, P. J. Hale, J. Moger, and A. K. Savchenko, Phys. Rev. Lett. 105, 097401 (2010).
[CrossRef]

Science (2)

K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
[CrossRef]

A. Vakil and N. Engheta, Science 332, 1291 (2011).
[CrossRef]

Other (1)

COMSOL Multiphysics 4.3, http://www.comsol.com .

Cited By

OSA participates in CrossRef's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (3)

Fig. 1.
Fig. 1.

Schematic of the slab waveguide of total width 2s: the core (silicon enriched nitride) has permittivity ϵr1=4.76 and the cladding (silica) has permittivity ϵr2=2.25. At the boundaries between core and cladding we have the graphene layers of thickness dg=0.34nm.

Fig. 2.
Fig. 2.

Effective refractive index of the TE0 mode versus peak intensity I: continuous and dashed curves correspond to the real and imaginary part, respectively.

Fig. 3.
Fig. 3.

Effective refractive index of the TM0 mode versus peak intensity I: continuous and dashed curves correspond to the real and imaginary part, respectively.

Equations (8)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

ϵrC=1+σΣ,I(1)dgωϵ0iσΣ,R(1)dgωϵ0=ϵrC,R+iϵrC,I,
ΔϵrKerr(|E⃗|2)=χ(3)|E⃗|21+|E⃗|2|Esat|2,
ϵrS(|E⃗|2)=dg(ϵrC+ΔϵrKerr(|E⃗|2)).
(E⃗2E⃗1)×x^=0(H⃗2H⃗1)×x^=iωϵ0ϵrS(|E⃗(x=±s)|2)E⃗(x=±s),
tan(κns)=Γmκn(1ω2μ0ϵ0ϵrS(|Ey(x=±s)|2)Γm),
1tan(κns)=Γmκn(1ω2μ0ϵ0ϵrS(|Ey(x=±s)|2)Γm).
tan(κns)=ϵr1ϵr2Γmκn(11+ϵrS(|Ez(x=±s)|2)Γmϵr2),
1tan(κns)=ϵr1ϵr2Γmκn(11+ϵrS(|Ez(x=±s)|2)Γmϵr2).

Metrics