Abstract

Apodization, which is a tool frequently used for cosmetic representation and efficient modeling of a spectrum, is now also adopted in techniques for the quantitative retrieval of parameters from observed spectra. Whether apodization can help in quantitative spectroscopy is the subject of debate in the literature. We find that, when the considered spectral range is wide enough to accurately model the instrument line shape, the same results can be obtained with and without apodization of the spectrum. However, when a truncation error is introduced by the limited extension of the modeled spectral interval, apodization can efficiently reduce this error. Therefore it is possible to save computing time by using apodization.

© 2007 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
    [CrossRef]
  2. U. Amato, D. De Canditiis, and C. Serio, Appl. Opt. 37, 6537 (1998).
    [CrossRef]
  3. C. D. Boone, S. D. McLeod, and P. F. Bernath, Appl. Opt. 41, 1029 (2002).
    [CrossRef] [PubMed]
  4. A. Dudhia, V. L. Jay, and C. D. Rodgers, Appl. Opt. 41, 3665 (2002).
    [CrossRef] [PubMed]
  5. ESA, "ENVISAT-MIPAS: an instrument for atmospheric chemistry and climate research," ESA SP-1229 (European Space Agency, ESTEC, 2000).
  6. M. Ridolfi, B. Carli, M. Carlotti, T. v. Clarmann, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, M. Hopfner, P. E. Morris, P. Raspollini, G. Stiller, and R. J. Wells, Appl. Opt. 39, 1323 (2000).
    [CrossRef]
  7. P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
    [CrossRef]
  8. R. H. Norton and R. Beer, J. Opt. Soc. Am. 66, 259 (1976).
    [CrossRef]
  9. R. H. Norton and R. Beer, J. Opt. Soc. Am. 67, 419 (1977) (erratum).

2006 (2)

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

2002 (2)

2000 (1)

1998 (1)

1977 (1)

1976 (1)

Amato, U.

Beer, R.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

R. H. Norton and R. Beer, J. Opt. Soc. Am. 67, 419 (1977) (erratum).

R. H. Norton and R. Beer, J. Opt. Soc. Am. 66, 259 (1976).
[CrossRef]

Belotti, C.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Bernath, P. F.

Boone, C. D.

Bowman, K.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Brown, L.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Brown, P. D.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Burgess, A.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Cady-Pereira, K. E.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Carli, B.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

M. Ridolfi, B. Carli, M. Carlotti, T. v. Clarmann, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, M. Hopfner, P. E. Morris, P. Raspollini, G. Stiller, and R. J. Wells, Appl. Opt. 39, 1323 (2000).
[CrossRef]

Carlotti, M.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

M. Ridolfi, B. Carli, M. Carlotti, T. v. Clarmann, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, M. Hopfner, P. E. Morris, P. Raspollini, G. Stiller, and R. J. Wells, Appl. Opt. 39, 1323 (2000).
[CrossRef]

Ceccherini, S.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Clarmann, T. v.

Clough, S. A.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

De Canditiis, D.

Dinelli, B. M.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

M. Ridolfi, B. Carli, M. Carlotti, T. v. Clarmann, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, M. Hopfner, P. E. Morris, P. Raspollini, G. Stiller, and R. J. Wells, Appl. Opt. 39, 1323 (2000).
[CrossRef]

Dudhia, A.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

A. Dudhia, V. L. Jay, and C. D. Rodgers, Appl. Opt. 41, 3665 (2002).
[CrossRef] [PubMed]

M. Ridolfi, B. Carli, M. Carlotti, T. v. Clarmann, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, M. Hopfner, P. E. Morris, P. Raspollini, G. Stiller, and R. J. Wells, Appl. Opt. 39, 1323 (2000).
[CrossRef]

Eldering, A.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Flaud, J.-M.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

M. Ridolfi, B. Carli, M. Carlotti, T. v. Clarmann, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, M. Hopfner, P. E. Morris, P. Raspollini, G. Stiller, and R. J. Wells, Appl. Opt. 39, 1323 (2000).
[CrossRef]

Funke, B.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Goldman, A.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Hopfner, M.

Höpfner, M.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Jay, V. L.

Kulawik, S.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Lampel, M.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Lopez-Puertas, M.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Luo, M.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

McLeod, S. D.

Mlawer, E. J.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Morris, P. E.

Norton, R. H.

Osterman, G.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Payne, V.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Piccolo, C.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Raspollini, P.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

M. Ridolfi, B. Carli, M. Carlotti, T. v. Clarmann, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, M. Hopfner, P. E. Morris, P. Raspollini, G. Stiller, and R. J. Wells, Appl. Opt. 39, 1323 (2000).
[CrossRef]

Remedios, J. J.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Ridolfi, M.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

M. Ridolfi, B. Carli, M. Carlotti, T. v. Clarmann, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, M. Hopfner, P. E. Morris, P. Raspollini, G. Stiller, and R. J. Wells, Appl. Opt. 39, 1323 (2000).
[CrossRef]

Rinsland, C. P.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Rodgers, C. D.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

A. Dudhia, V. L. Jay, and C. D. Rodgers, Appl. Opt. 41, 3665 (2002).
[CrossRef] [PubMed]

Serio, C.

Shephard, M. W.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Spang, R.

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

Stiller, G.

Wells, R. J.

Worden, H. M.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Worden, J.

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

Appl. Opt. (4)

Atmos. Chem. Phys. (1)

P. Raspollini, C. Belotti, A. Burgess, B. Carli, M. Carlotti, S. Ceccherini, B. M. Dinelli, A. Dudhia, J.-M. Flaud, B. Funke, M. Höpfner, M. Lopez-Puertas, V. Payne, C. Piccolo, J. J. Remedios, M. Ridolfi, and R. Spang, Atmos. Chem. Phys. 6, 5605 (2006).
[CrossRef]

IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. (1)

S. A. Clough, M. W. Shephard, J. Worden, P. D. Brown, H. M. Worden, M. Luo, C. D. Rodgers, C. P. Rinsland, A. Goldman, L. Brown, S. Kulawik, A. Eldering, M. Lampel, G. Osterman, R. Beer, K. Bowman, K. E. Cady-Pereira, and E. J. Mlawer, IEEE Trans. Geosci. Remote Sens. 44, 1308 (2006).
[CrossRef]

J. Opt. Soc. Am. (2)

Other (1)

ESA, "ENVISAT-MIPAS: an instrument for atmospheric chemistry and climate research," ESA SP-1229 (European Space Agency, ESTEC, 2000).

Cited By

OSA participates in CrossRef's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (1)

Fig. 1
Fig. 1

(a) Average ozone retrieved volume mixing ratio profiles relative to MIPAS orbit 2975 calculated by using 15 points for the ILS extension without apodization (dotted curve) and with strong apodization (solid curve). The estimated standard deviations of a single profile are also reported. (b) Differences between each of the two profiles shown in panel (a) and the profile obtained by using 135 points for the ILS extension.

Tables (1)

Tables Icon

Table 1 Reduced χ 2 Values for Ozone Retrieval from a MIPAS Measurement

Equations (11)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

χ 2 = n T S 1 n ,
n A = An ,
S A = ASA T ,
χ A 2 = n A T S A 1 n A .
χ A 2 = n T A T ( A T ) 1 S 1 A 1 An = n T S 1 n = χ 2 .
χ 2 = ( n + Δ ) T S 1 ( n + Δ ) ,
χ A 2 = ( n A + Δ A ) T S A 1 ( n A + Δ A ) ,
n A = A q n q ,
S A = A q S q A q T ,
Δ A = A q Δ q ,
χ A 2 = ( n q + Δ q ) T A q T ( A q S q A q T ) 1 A q ( n q + Δ q ) .

Metrics