Abstract

We discuss the emergence of spatial structures in a ring laser model with transverse effects. The emphasis of this study is on the development of a description that can capture the essential features of transverse dynamics without the need for large-scale numerical efforts. We introduce an extension of the uniform field limit and derive a set of modal equations that we solve with conventional numerical methods. Our solutions show evidence of transverse mode competition in the laser dynamics, leading to both time-dependent and multimode stationary (cooperative frequency-locking) behaviors. In the time-dependent regime we analyze the resulting spatial structures and suggest a scheme for the investigation and characterization of spatial complexity.

© 1990 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. A. M. Turing, Phil. Trans. R. Soc. London Ser. B 237, 37 (1952); H. Haken, Synergetics—An Introduction (Springer-Verlag, Berling, 1974); G. Nicolis, I. Prigogine, Self-organization in Non-equilibrium Systems (Wiley, New York, 1974).
    [CrossRef]
  2. E. N. Lorenz, J. Atmos. Sci. 20, 130 (1963).
    [CrossRef]
  3. S. Grossmann, S. Thomae, Z. Naturforsch. 32A, 1353 (1977); M. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 25 (1978); P. Coullet, C. Tresser, J. Phys. (Paris) Colloq. C5, 39 (1978).
    [CrossRef]
  4. H. M. Gibbs, F. A. Hopf, D. L. Kaplan, R. L. Shoemaker, Phys. Rev. Lett. 46, 474 (1981).
    [CrossRef]
  5. F. T. Arecchi, R. Meucci, G. P. Puccioni, J. R. Tredicce, Phys. Rev. Lett. 49, 1217 (1982).
    [CrossRef]
  6. R. S. Gioggia, N. B. Abraham, Phys. Rev. Lett. 51, 650 (1983).
    [CrossRef]
  7. A. M. Albano, J. Abounadi, T. H. Chyba, C. E. Searle, S. Yong, R. S. Gioggia, N. B. Abraham, J. Opt. Soc. Am. B 2, 47 (1985).
    [CrossRef]
  8. G. P. Puccioni, A. Poggi, W. Gadomski, J. R. Tredicce, F. T. Arecchi, Phys. Rev. Lett. 55, 339 (1985).
    [CrossRef]
  9. See, for example, F. Heslot, B. Castaign, A. Libchaber, Phys. Rev. A 36, 5870 (1987).
    [CrossRef]
  10. M. Le Berre, E. Ressayre, A. Tallet, Phys. Rev. A 25, 1604 (1982).
    [CrossRef]
  11. D. W. McLaughlin, J. V. Moloney, A. C. Newell, Phys. Rev. Lett. 51, 75 (1983).
    [CrossRef]
  12. W. J. Firth, in Instabilities an Chaos in Quantum Optics II, N. B. Abraham, F. T. Arecchi, L. A. Lugiato, eds. (Prenum, New York, 1988), p. 219.
    [CrossRef]
  13. L. A. Lugiato, R. Lefever, Phys. Rev. lett. 58, 220 (1987); L. A. Lugiato, C. Oldano, Phys. Rev. A 37, 3896 (1988).
    [CrossRef]
  14. J. V. Moloney, H. M. Gibbs, Phys. Rev. Lett. 58, 467 (1982).
  15. J. V. Moloney, H. Adachihara, D. W. McLaughlin, A. C. Newell, in Chaos, Noise and Fractals, E. R. Pike, L. A. Lugiato, eds. (Hilger, London, 1988), p. 137.
  16. L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, G.-L. Oppo, Opt. Commun. 69, 387 (1989).
    [CrossRef]
  17. G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
    [CrossRef]
  18. G. Giusfredi, J. F. Valley, R. Pon, G. Khitrova, H. M. Gibbs, J. Opt. Soc. Am. B 5, 1181 (1988).
    [CrossRef]
  19. L. A. Lugiato, C. Oldano, L. M. Narducci, J. Opt. Soc. Am. B 5, 879 (1987).
    [CrossRef]
  20. L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
    [CrossRef]
  21. J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
    [CrossRef]
  22. C. Tamm, Phys. Rev. A 38, 5960 (1988).
    [CrossRef] [PubMed]
  23. L. A. Lugiato, L. M. Narducci, E. V. Eschenazi, D. K. Bandy, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 32, 1563 (1985); L. M. Narducci, J. R. Tredicce, L. A. Lugiato, N. B. Abraham, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 33, 1842 (1986).
    [CrossRef] [PubMed]
  24. L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
    [CrossRef]
  25. A. F. Suchkov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 49, 1495 (1965) [Sov. Phys. JETP 22, 1026 (1966)].
  26. R. G. Allakhverdyan, A. N. Oraevsky, A. F. Suchkov, Fiz. Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskop. 4, 341 (1970) [Sov. Phys. Semicond. 4, 227 (1970)].
  27. V. E. Kuzin, A. F. Suchkov, Kvantovaya Elektron. (Moscow) 3, 52 (1972) [Sov. J. Quantum Electron. 2, 236 (1972)].
  28. I. M. Belousova, G. N. Vinokurov, O. B. Danilov, N. N. Rozanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57, 1146 (1967) [Sov. Phys. JETP 25, 761 (1967)].
  29. P. W. Smith, Appl. Phys. Lett. 13, 235 (1968).
    [CrossRef]
  30. D. H. Auston, IEEE J. Quantum Electron. 5, 471 (1968).
    [CrossRef]
  31. P. Hollinger, C. Jung, H. Weber, Department of Physics, University of Kaiserslautern, D-6750 Kaiserslautern, Federal Republic of Germany (personal communication).
  32. P. Hollinger, C. Jung, J. Opt. Soc. Am. B 2, 218 (1985); F. Hollinger, C. Jung, H. Weber, in Optical Instabilities, R. W. Boyd, M. G. Raymer, L. M. Narducci, eds. (Cambridge U. Press, Cambridge, 1986), p. 260; see also M. L. Shih, P. W. Milonni, Opt. Commun. 49, 155 (1984).
    [CrossRef]
  33. C. O. Weiss, H. King, Opt. Commun. 44, 59 (1982).
    [CrossRef]
  34. N. J. Halas, S. N. Liu, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 28, 2915 (1983).
    [CrossRef]
  35. D. J. Biswas, R. G. Harrison, Phys. Rev. A 32, 3835 (1985).
    [CrossRef] [PubMed]
  36. P. Coullet, L. Gil, J. Lega, Phys. Rev. Lett. 62, 1619 (1989).
    [CrossRef] [PubMed]
  37. P. Ru, L. M. Narducci, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, L. A. Lugiato, Opt. Commun. 63, 310 (1987).
    [CrossRef]
  38. See, for example, A. Yariv, Optical Electronics, 3rd ed. (Holt, Rinehart & Winston, New York, 1985), p. 32.

1989 (3)

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, G.-L. Oppo, Opt. Commun. 69, 387 (1989).
[CrossRef]

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

P. Coullet, L. Gil, J. Lega, Phys. Rev. Lett. 62, 1619 (1989).
[CrossRef] [PubMed]

1988 (5)

G. Giusfredi, J. F. Valley, R. Pon, G. Khitrova, H. M. Gibbs, J. Opt. Soc. Am. B 5, 1181 (1988).
[CrossRef]

C. Tamm, Phys. Rev. A 38, 5960 (1988).
[CrossRef] [PubMed]

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
[CrossRef]

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
[CrossRef]

1987 (4)

L. A. Lugiato, R. Lefever, Phys. Rev. lett. 58, 220 (1987); L. A. Lugiato, C. Oldano, Phys. Rev. A 37, 3896 (1988).
[CrossRef]

See, for example, F. Heslot, B. Castaign, A. Libchaber, Phys. Rev. A 36, 5870 (1987).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, C. Oldano, L. M. Narducci, J. Opt. Soc. Am. B 5, 879 (1987).
[CrossRef]

P. Ru, L. M. Narducci, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, L. A. Lugiato, Opt. Commun. 63, 310 (1987).
[CrossRef]

1985 (5)

P. Hollinger, C. Jung, J. Opt. Soc. Am. B 2, 218 (1985); F. Hollinger, C. Jung, H. Weber, in Optical Instabilities, R. W. Boyd, M. G. Raymer, L. M. Narducci, eds. (Cambridge U. Press, Cambridge, 1986), p. 260; see also M. L. Shih, P. W. Milonni, Opt. Commun. 49, 155 (1984).
[CrossRef]

A. M. Albano, J. Abounadi, T. H. Chyba, C. E. Searle, S. Yong, R. S. Gioggia, N. B. Abraham, J. Opt. Soc. Am. B 2, 47 (1985).
[CrossRef]

D. J. Biswas, R. G. Harrison, Phys. Rev. A 32, 3835 (1985).
[CrossRef] [PubMed]

G. P. Puccioni, A. Poggi, W. Gadomski, J. R. Tredicce, F. T. Arecchi, Phys. Rev. Lett. 55, 339 (1985).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, L. M. Narducci, E. V. Eschenazi, D. K. Bandy, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 32, 1563 (1985); L. M. Narducci, J. R. Tredicce, L. A. Lugiato, N. B. Abraham, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 33, 1842 (1986).
[CrossRef] [PubMed]

1983 (3)

D. W. McLaughlin, J. V. Moloney, A. C. Newell, Phys. Rev. Lett. 51, 75 (1983).
[CrossRef]

R. S. Gioggia, N. B. Abraham, Phys. Rev. Lett. 51, 650 (1983).
[CrossRef]

N. J. Halas, S. N. Liu, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 28, 2915 (1983).
[CrossRef]

1982 (4)

F. T. Arecchi, R. Meucci, G. P. Puccioni, J. R. Tredicce, Phys. Rev. Lett. 49, 1217 (1982).
[CrossRef]

C. O. Weiss, H. King, Opt. Commun. 44, 59 (1982).
[CrossRef]

M. Le Berre, E. Ressayre, A. Tallet, Phys. Rev. A 25, 1604 (1982).
[CrossRef]

J. V. Moloney, H. M. Gibbs, Phys. Rev. Lett. 58, 467 (1982).

1981 (1)

H. M. Gibbs, F. A. Hopf, D. L. Kaplan, R. L. Shoemaker, Phys. Rev. Lett. 46, 474 (1981).
[CrossRef]

1977 (1)

S. Grossmann, S. Thomae, Z. Naturforsch. 32A, 1353 (1977); M. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 25 (1978); P. Coullet, C. Tresser, J. Phys. (Paris) Colloq. C5, 39 (1978).
[CrossRef]

1972 (1)

V. E. Kuzin, A. F. Suchkov, Kvantovaya Elektron. (Moscow) 3, 52 (1972) [Sov. J. Quantum Electron. 2, 236 (1972)].

1970 (1)

R. G. Allakhverdyan, A. N. Oraevsky, A. F. Suchkov, Fiz. Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskop. 4, 341 (1970) [Sov. Phys. Semicond. 4, 227 (1970)].

1968 (2)

P. W. Smith, Appl. Phys. Lett. 13, 235 (1968).
[CrossRef]

D. H. Auston, IEEE J. Quantum Electron. 5, 471 (1968).
[CrossRef]

1967 (1)

I. M. Belousova, G. N. Vinokurov, O. B. Danilov, N. N. Rozanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57, 1146 (1967) [Sov. Phys. JETP 25, 761 (1967)].

1965 (1)

A. F. Suchkov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 49, 1495 (1965) [Sov. Phys. JETP 22, 1026 (1966)].

1963 (1)

E. N. Lorenz, J. Atmos. Sci. 20, 130 (1963).
[CrossRef]

1952 (1)

A. M. Turing, Phil. Trans. R. Soc. London Ser. B 237, 37 (1952); H. Haken, Synergetics—An Introduction (Springer-Verlag, Berling, 1974); G. Nicolis, I. Prigogine, Self-organization in Non-equilibrium Systems (Wiley, New York, 1974).
[CrossRef]

Abounadi, J.

Abraham, N. B.

A. M. Albano, J. Abounadi, T. H. Chyba, C. E. Searle, S. Yong, R. S. Gioggia, N. B. Abraham, J. Opt. Soc. Am. B 2, 47 (1985).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, L. M. Narducci, E. V. Eschenazi, D. K. Bandy, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 32, 1563 (1985); L. M. Narducci, J. R. Tredicce, L. A. Lugiato, N. B. Abraham, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 33, 1842 (1986).
[CrossRef] [PubMed]

R. S. Gioggia, N. B. Abraham, Phys. Rev. Lett. 51, 650 (1983).
[CrossRef]

N. J. Halas, S. N. Liu, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 28, 2915 (1983).
[CrossRef]

Adachihara, H.

J. V. Moloney, H. Adachihara, D. W. McLaughlin, A. C. Newell, in Chaos, Noise and Fractals, E. R. Pike, L. A. Lugiato, eds. (Hilger, London, 1988), p. 137.

Albano, A. M.

Allakhverdyan, R. G.

R. G. Allakhverdyan, A. N. Oraevsky, A. F. Suchkov, Fiz. Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskop. 4, 341 (1970) [Sov. Phys. Semicond. 4, 227 (1970)].

Arecchi, F. T.

G. P. Puccioni, A. Poggi, W. Gadomski, J. R. Tredicce, F. T. Arecchi, Phys. Rev. Lett. 55, 339 (1985).
[CrossRef]

F. T. Arecchi, R. Meucci, G. P. Puccioni, J. R. Tredicce, Phys. Rev. Lett. 49, 1217 (1982).
[CrossRef]

Auston, D. H.

D. H. Auston, IEEE J. Quantum Electron. 5, 471 (1968).
[CrossRef]

Bandy, D. K.

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
[CrossRef]

P. Ru, L. M. Narducci, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, L. A. Lugiato, Opt. Commun. 63, 310 (1987).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, L. M. Narducci, E. V. Eschenazi, D. K. Bandy, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 32, 1563 (1985); L. M. Narducci, J. R. Tredicce, L. A. Lugiato, N. B. Abraham, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 33, 1842 (1986).
[CrossRef] [PubMed]

Belousova, I. M.

I. M. Belousova, G. N. Vinokurov, O. B. Danilov, N. N. Rozanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57, 1146 (1967) [Sov. Phys. JETP 25, 761 (1967)].

Biswas, D. J.

D. J. Biswas, R. G. Harrison, Phys. Rev. A 32, 3835 (1985).
[CrossRef] [PubMed]

Bloch, D.

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

Castaign, B.

See, for example, F. Heslot, B. Castaign, A. Libchaber, Phys. Rev. A 36, 5870 (1987).
[CrossRef]

Chyba, T. H.

Coullet, P.

P. Coullet, L. Gil, J. Lega, Phys. Rev. Lett. 62, 1619 (1989).
[CrossRef] [PubMed]

Danilov, O. B.

I. M. Belousova, G. N. Vinokurov, O. B. Danilov, N. N. Rozanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57, 1146 (1967) [Sov. Phys. JETP 25, 761 (1967)].

Ducloy, M.

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

Eschenazi, E. V.

L. A. Lugiato, L. M. Narducci, E. V. Eschenazi, D. K. Bandy, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 32, 1563 (1985); L. M. Narducci, J. R. Tredicce, L. A. Lugiato, N. B. Abraham, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 33, 1842 (1986).
[CrossRef] [PubMed]

Firth, W. J.

W. J. Firth, in Instabilities an Chaos in Quantum Optics II, N. B. Abraham, F. T. Arecchi, L. A. Lugiato, eds. (Prenum, New York, 1988), p. 219.
[CrossRef]

Gadomski, W.

G. P. Puccioni, A. Poggi, W. Gadomski, J. R. Tredicce, F. T. Arecchi, Phys. Rev. Lett. 55, 339 (1985).
[CrossRef]

Ghazzawi, A. M.

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

Gibbs, H. M.

G. Giusfredi, J. F. Valley, R. Pon, G. Khitrova, H. M. Gibbs, J. Opt. Soc. Am. B 5, 1181 (1988).
[CrossRef]

J. V. Moloney, H. M. Gibbs, Phys. Rev. Lett. 58, 467 (1982).

H. M. Gibbs, F. A. Hopf, D. L. Kaplan, R. L. Shoemaker, Phys. Rev. Lett. 46, 474 (1981).
[CrossRef]

Gil, L.

P. Coullet, L. Gil, J. Lega, Phys. Rev. Lett. 62, 1619 (1989).
[CrossRef] [PubMed]

Gioggia, R. S.

Giusfredi, G.

Green, C.

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

Grossmann, S.

S. Grossmann, S. Thomae, Z. Naturforsch. 32A, 1353 (1977); M. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 25 (1978); P. Coullet, C. Tresser, J. Phys. (Paris) Colloq. C5, 39 (1978).
[CrossRef]

Grynberg, G.

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

Halas, N. J.

N. J. Halas, S. N. Liu, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 28, 2915 (1983).
[CrossRef]

Harrison, R. G.

D. J. Biswas, R. G. Harrison, Phys. Rev. A 32, 3835 (1985).
[CrossRef] [PubMed]

Heslot, F.

See, for example, F. Heslot, B. Castaign, A. Libchaber, Phys. Rev. A 36, 5870 (1987).
[CrossRef]

Hollinger, P.

Hopf, F. A.

H. M. Gibbs, F. A. Hopf, D. L. Kaplan, R. L. Shoemaker, Phys. Rev. Lett. 46, 474 (1981).
[CrossRef]

Jung, C.

Kaplan, D. L.

H. M. Gibbs, F. A. Hopf, D. L. Kaplan, R. L. Shoemaker, Phys. Rev. Lett. 46, 474 (1981).
[CrossRef]

Khitrova, G.

King, H.

C. O. Weiss, H. King, Opt. Commun. 44, 59 (1982).
[CrossRef]

Kuzin, V. E.

V. E. Kuzin, A. F. Suchkov, Kvantovaya Elektron. (Moscow) 3, 52 (1972) [Sov. J. Quantum Electron. 2, 236 (1972)].

Le Berre, M.

M. Le Berre, E. Ressayre, A. Tallet, Phys. Rev. A 25, 1604 (1982).
[CrossRef]

Le Bihan, E.

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

Le Boiteux, S.

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

Lefever, R.

L. A. Lugiato, R. Lefever, Phys. Rev. lett. 58, 220 (1987); L. A. Lugiato, C. Oldano, Phys. Rev. A 37, 3896 (1988).
[CrossRef]

Lega, J.

P. Coullet, L. Gil, J. Lega, Phys. Rev. Lett. 62, 1619 (1989).
[CrossRef] [PubMed]

Leite, J. R. R.

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

Libchaber, A.

See, for example, F. Heslot, B. Castaign, A. Libchaber, Phys. Rev. A 36, 5870 (1987).
[CrossRef]

Liu, S. N.

N. J. Halas, S. N. Liu, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 28, 2915 (1983).
[CrossRef]

Lorenz, E. N.

E. N. Lorenz, J. Atmos. Sci. 20, 130 (1963).
[CrossRef]

Lugiato, L. A.

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, G.-L. Oppo, Opt. Commun. 69, 387 (1989).
[CrossRef]

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, R. Lefever, Phys. Rev. lett. 58, 220 (1987); L. A. Lugiato, C. Oldano, Phys. Rev. A 37, 3896 (1988).
[CrossRef]

P. Ru, L. M. Narducci, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, L. A. Lugiato, Opt. Commun. 63, 310 (1987).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, C. Oldano, L. M. Narducci, J. Opt. Soc. Am. B 5, 879 (1987).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, L. M. Narducci, E. V. Eschenazi, D. K. Bandy, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 32, 1563 (1985); L. M. Narducci, J. R. Tredicce, L. A. Lugiato, N. B. Abraham, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 33, 1842 (1986).
[CrossRef] [PubMed]

McLaughlin, D. W.

D. W. McLaughlin, J. V. Moloney, A. C. Newell, Phys. Rev. Lett. 51, 75 (1983).
[CrossRef]

J. V. Moloney, H. Adachihara, D. W. McLaughlin, A. C. Newell, in Chaos, Noise and Fractals, E. R. Pike, L. A. Lugiato, eds. (Hilger, London, 1988), p. 137.

Meucci, R.

F. T. Arecchi, R. Meucci, G. P. Puccioni, J. R. Tredicce, Phys. Rev. Lett. 49, 1217 (1982).
[CrossRef]

Moloney, J. V.

D. W. McLaughlin, J. V. Moloney, A. C. Newell, Phys. Rev. Lett. 51, 75 (1983).
[CrossRef]

J. V. Moloney, H. M. Gibbs, Phys. Rev. Lett. 58, 467 (1982).

J. V. Moloney, H. Adachihara, D. W. McLaughlin, A. C. Newell, in Chaos, Noise and Fractals, E. R. Pike, L. A. Lugiato, eds. (Hilger, London, 1988), p. 137.

Narducci, L. M.

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, G.-L. Oppo, Opt. Commun. 69, 387 (1989).
[CrossRef]

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
[CrossRef]

P. Ru, L. M. Narducci, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, L. A. Lugiato, Opt. Commun. 63, 310 (1987).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, C. Oldano, L. M. Narducci, J. Opt. Soc. Am. B 5, 879 (1987).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, L. M. Narducci, E. V. Eschenazi, D. K. Bandy, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 32, 1563 (1985); L. M. Narducci, J. R. Tredicce, L. A. Lugiato, N. B. Abraham, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 33, 1842 (1986).
[CrossRef] [PubMed]

Newell, A. C.

D. W. McLaughlin, J. V. Moloney, A. C. Newell, Phys. Rev. Lett. 51, 75 (1983).
[CrossRef]

J. V. Moloney, H. Adachihara, D. W. McLaughlin, A. C. Newell, in Chaos, Noise and Fractals, E. R. Pike, L. A. Lugiato, eds. (Hilger, London, 1988), p. 137.

Oldano, C.

Oppo, G.-L.

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, G.-L. Oppo, Opt. Commun. 69, 387 (1989).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
[CrossRef]

Oraevsky, A. N.

R. G. Allakhverdyan, A. N. Oraevsky, A. F. Suchkov, Fiz. Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskop. 4, 341 (1970) [Sov. Phys. Semicond. 4, 227 (1970)].

Pernigo, M. A.

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
[CrossRef]

Poggi, A.

G. P. Puccioni, A. Poggi, W. Gadomski, J. R. Tredicce, F. T. Arecchi, Phys. Rev. Lett. 55, 339 (1985).
[CrossRef]

Pon, R.

Prati, F.

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, G.-L. Oppo, Opt. Commun. 69, 387 (1989).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
[CrossRef]

Puccioni, G. P.

G. P. Puccioni, A. Poggi, W. Gadomski, J. R. Tredicce, F. T. Arecchi, Phys. Rev. Lett. 55, 339 (1985).
[CrossRef]

F. T. Arecchi, R. Meucci, G. P. Puccioni, J. R. Tredicce, Phys. Rev. Lett. 49, 1217 (1982).
[CrossRef]

Quel, E. J.

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

Ressayre, E.

M. Le Berre, E. Ressayre, A. Tallet, Phys. Rev. A 25, 1604 (1982).
[CrossRef]

Rozanov, N. N.

I. M. Belousova, G. N. Vinokurov, O. B. Danilov, N. N. Rozanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57, 1146 (1967) [Sov. Phys. JETP 25, 761 (1967)].

Ru, P.

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
[CrossRef]

P. Ru, L. M. Narducci, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, L. A. Lugiato, Opt. Commun. 63, 310 (1987).
[CrossRef]

Searle, C. E.

Shoemaker, R. L.

H. M. Gibbs, F. A. Hopf, D. L. Kaplan, R. L. Shoemaker, Phys. Rev. Lett. 46, 474 (1981).
[CrossRef]

Simoneau, P.

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

Smith, P. W.

P. W. Smith, Appl. Phys. Lett. 13, 235 (1968).
[CrossRef]

Suchkov, A. F.

V. E. Kuzin, A. F. Suchkov, Kvantovaya Elektron. (Moscow) 3, 52 (1972) [Sov. J. Quantum Electron. 2, 236 (1972)].

R. G. Allakhverdyan, A. N. Oraevsky, A. F. Suchkov, Fiz. Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskop. 4, 341 (1970) [Sov. Phys. Semicond. 4, 227 (1970)].

A. F. Suchkov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 49, 1495 (1965) [Sov. Phys. JETP 22, 1026 (1966)].

Tallet, A.

M. Le Berre, E. Ressayre, A. Tallet, Phys. Rev. A 25, 1604 (1982).
[CrossRef]

Tamm, C.

C. Tamm, Phys. Rev. A 38, 5960 (1988).
[CrossRef] [PubMed]

Thomae, S.

S. Grossmann, S. Thomae, Z. Naturforsch. 32A, 1353 (1977); M. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 25 (1978); P. Coullet, C. Tresser, J. Phys. (Paris) Colloq. C5, 39 (1978).
[CrossRef]

Tredicce, J. R.

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
[CrossRef]

P. Ru, L. M. Narducci, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, L. A. Lugiato, Opt. Commun. 63, 310 (1987).
[CrossRef]

G. P. Puccioni, A. Poggi, W. Gadomski, J. R. Tredicce, F. T. Arecchi, Phys. Rev. Lett. 55, 339 (1985).
[CrossRef]

F. T. Arecchi, R. Meucci, G. P. Puccioni, J. R. Tredicce, Phys. Rev. Lett. 49, 1217 (1982).
[CrossRef]

Turing, A. M.

A. M. Turing, Phil. Trans. R. Soc. London Ser. B 237, 37 (1952); H. Haken, Synergetics—An Introduction (Springer-Verlag, Berling, 1974); G. Nicolis, I. Prigogine, Self-organization in Non-equilibrium Systems (Wiley, New York, 1974).
[CrossRef]

Valley, J. F.

Verkerk, P.

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

Vinokurov, G. N.

I. M. Belousova, G. N. Vinokurov, O. B. Danilov, N. N. Rozanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57, 1146 (1967) [Sov. Phys. JETP 25, 761 (1967)].

Weber, H.

P. Hollinger, C. Jung, H. Weber, Department of Physics, University of Kaiserslautern, D-6750 Kaiserslautern, Federal Republic of Germany (personal communication).

Weiss, C. O.

C. O. Weiss, H. King, Opt. Commun. 44, 59 (1982).
[CrossRef]

Yariv, A.

See, for example, A. Yariv, Optical Electronics, 3rd ed. (Holt, Rinehart & Winston, New York, 1985), p. 32.

Yong, S.

Appl. Phys. Lett. (1)

P. W. Smith, Appl. Phys. Lett. 13, 235 (1968).
[CrossRef]

Fiz. Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskop. (1)

R. G. Allakhverdyan, A. N. Oraevsky, A. F. Suchkov, Fiz. Tekh. Probl. Razrab. Polezn. Iskop. 4, 341 (1970) [Sov. Phys. Semicond. 4, 227 (1970)].

IEEE J. Quantum Electron. (1)

D. H. Auston, IEEE J. Quantum Electron. 5, 471 (1968).
[CrossRef]

J. Atmos. Sci. (1)

E. N. Lorenz, J. Atmos. Sci. 20, 130 (1963).
[CrossRef]

J. Opt. Soc. Am. B (4)

Kvantovaya Elektron. (Moscow) (1)

V. E. Kuzin, A. F. Suchkov, Kvantovaya Elektron. (Moscow) 3, 52 (1972) [Sov. J. Quantum Electron. 2, 236 (1972)].

Opt. Commun. (5)

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, G.-L. Oppo, Opt. Commun. 69, 387 (1989).
[CrossRef]

G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J. R. R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, M. Ducloy, Opt. Commun. 67, 363 (1988).
[CrossRef]

L. A. Lugiato, G.-L. Oppo, M. A. Pernigo, J. R. Tredicce, L. M. Narducci, D. K. Bandy, Opt. Commun. 68, 63 (1988).
[CrossRef]

C. O. Weiss, H. King, Opt. Commun. 44, 59 (1982).
[CrossRef]

P. Ru, L. M. Narducci, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, L. A. Lugiato, Opt. Commun. 63, 310 (1987).
[CrossRef]

Phil. Trans. R. Soc. London Ser. B (1)

A. M. Turing, Phil. Trans. R. Soc. London Ser. B 237, 37 (1952); H. Haken, Synergetics—An Introduction (Springer-Verlag, Berling, 1974); G. Nicolis, I. Prigogine, Self-organization in Non-equilibrium Systems (Wiley, New York, 1974).
[CrossRef]

Phys. Rev. A (7)

N. J. Halas, S. N. Liu, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 28, 2915 (1983).
[CrossRef]

D. J. Biswas, R. G. Harrison, Phys. Rev. A 32, 3835 (1985).
[CrossRef] [PubMed]

See, for example, F. Heslot, B. Castaign, A. Libchaber, Phys. Rev. A 36, 5870 (1987).
[CrossRef]

M. Le Berre, E. Ressayre, A. Tallet, Phys. Rev. A 25, 1604 (1982).
[CrossRef]

C. Tamm, Phys. Rev. A 38, 5960 (1988).
[CrossRef] [PubMed]

L. A. Lugiato, L. M. Narducci, E. V. Eschenazi, D. K. Bandy, N. B. Abraham, Phys. Rev. A 32, 1563 (1985); L. M. Narducci, J. R. Tredicce, L. A. Lugiato, N. B. Abraham, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 33, 1842 (1986).
[CrossRef] [PubMed]

L. A. Lugiato, F. Prati, L. M. Narducci, P. Ru, J. R. Tredicce, D. K. Bandy, Phys. Rev. A 37, 3847 (1988).
[CrossRef]

Phys. Rev. lett. (1)

L. A. Lugiato, R. Lefever, Phys. Rev. lett. 58, 220 (1987); L. A. Lugiato, C. Oldano, Phys. Rev. A 37, 3896 (1988).
[CrossRef]

J. V. Moloney, H. M. Gibbs, Phys. Rev. Lett. 58, 467 (1982).

D. W. McLaughlin, J. V. Moloney, A. C. Newell, Phys. Rev. Lett. 51, 75 (1983).
[CrossRef]

J. R. Tredicce, E. J. Quel, A. M. Ghazzawi, C. Green, M. A. Pernigo, L. M. Narducci, L. A. Lugiato, Phys. Rev. Lett. 62, 1274 (1989).
[CrossRef]

P. Coullet, L. Gil, J. Lega, Phys. Rev. Lett. 62, 1619 (1989).
[CrossRef] [PubMed]

G. P. Puccioni, A. Poggi, W. Gadomski, J. R. Tredicce, F. T. Arecchi, Phys. Rev. Lett. 55, 339 (1985).
[CrossRef]

H. M. Gibbs, F. A. Hopf, D. L. Kaplan, R. L. Shoemaker, Phys. Rev. Lett. 46, 474 (1981).
[CrossRef]

F. T. Arecchi, R. Meucci, G. P. Puccioni, J. R. Tredicce, Phys. Rev. Lett. 49, 1217 (1982).
[CrossRef]

R. S. Gioggia, N. B. Abraham, Phys. Rev. Lett. 51, 650 (1983).
[CrossRef]

Z. Naturforsch. (1)

S. Grossmann, S. Thomae, Z. Naturforsch. 32A, 1353 (1977); M. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 25 (1978); P. Coullet, C. Tresser, J. Phys. (Paris) Colloq. C5, 39 (1978).
[CrossRef]

Zh. Eksp. Teor. Fiz. (2)

I. M. Belousova, G. N. Vinokurov, O. B. Danilov, N. N. Rozanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 57, 1146 (1967) [Sov. Phys. JETP 25, 761 (1967)].

A. F. Suchkov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 49, 1495 (1965) [Sov. Phys. JETP 22, 1026 (1966)].

Other (4)

J. V. Moloney, H. Adachihara, D. W. McLaughlin, A. C. Newell, in Chaos, Noise and Fractals, E. R. Pike, L. A. Lugiato, eds. (Hilger, London, 1988), p. 137.

W. J. Firth, in Instabilities an Chaos in Quantum Optics II, N. B. Abraham, F. T. Arecchi, L. A. Lugiato, eds. (Prenum, New York, 1988), p. 219.
[CrossRef]

P. Hollinger, C. Jung, H. Weber, Department of Physics, University of Kaiserslautern, D-6750 Kaiserslautern, Federal Republic of Germany (personal communication).

See, for example, A. Yariv, Optical Electronics, 3rd ed. (Holt, Rinehart & Winston, New York, 1985), p. 32.

Cited By

OSA participates in CrossRef's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (8)

Fig. 1
Fig. 1

Schematic representation of a ring laser cavity with two spherical mirrors of radius of curvature R0. The length of the ring is Λ; the distance between the two curved reflectors is L. η = 0 indicates the origin of the longitudinal coordinate system, and η measures various longitudinal positions of relevance to our discussion, in units of Λ. The active medium is confined within the rectangular region of length LA.

Fig. 2
Fig. 2

Illustrating the significance of the two classes of transverse modes. The mode (n = N − 1, p = 3) is nearly degenerate with the reference mode (n = N, p = 0). We have omitted the angular indices m for clarity of illustration.

Fig. 3
Fig. 3

The shift of the laser carrier from the reference frequency in a range of parameters where the competition between the p = 0 and p = 1 modes leads to stationary solutions. (a) Plot of the curve [Eq. (3.11)] obtained through perturbative expansion of the steady-state equations. (b) numerical integration of Eqs. (3.4) for κ = 1.0. The other parameters are fixed to the values reported in the text.

Fig. 4
Fig. 4

Scan of the total flux as a function of the modal spacing a1 for (a) κ = 1.0, (b) κ = 0.3. The other parameters are selected as stated in the text. For each value of a1 we plot the maximum and minimum excursion of the oscillations after the transients have died out.

Fig. 5
Fig. 5

Time evolution of the first three modal amplitudes during the scan of Fig. 4 for (a1)–(a3) κ = 1.0 and (b1)–(b3) κ = 0.3. The other parameters are selected as stated in the text.

Fig. 6
Fig. 6

Spatiotemporal evolution of the modulus of the output field for κ’ = 1.0; (a) a1 = 0.34, (b) a1 = 0.32, and (c) a1 = 0.25. The other parameters are selected as stated in the text.

Fig. 7
Fig. 7

Radial dependence of the correlation function Cmax(0, ρ) for the spatiotemporal evolutions of Fig. 6.

Fig. 8
Fig. 8

Schematic representation of the empty resonator. The meaning of the symbols is the same as in Fig. 1.

Equations (126)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

i 4 2 F + F η + 1 υ F τ = i δ Ω υ F α Λ P ,
P τ = [ F D + ( 1 + i Δ ) P ] ,
D τ = γ [ 1 2 ( F * P + F P * ) + D χ ]
η = z Λ , ρ = ( π Λ λ ) 1 / 2 r , τ = γ t
υ = c Λ γ .
E ( r , φ , z , t ) = ћ γ γ 2 μ 1 2 { F ( r , φ , z , t ) exp [ i ( k 0 z ω 0 t ) ] × exp ( i δ Ω t ) + c . c . } ,
F ( ρ , φ , η , τ ) = p , m , i A p m ( i ) ( ρ , φ , η ) f p m ( i ) ( η , τ ) ,
f p m ( i ) η + 1 υ f p m ( i ) τ = i Ω υ f p m ( i ) α Λ 0 d ρ ρ 0 2 π d φ A p m ( i ) * ( ρ , φ , η ) P ( ρ , φ , η , τ ) .
f p m ( i ) ( 1 2 f A , τ ) = R exp ( i δ p m ) exp ( i δ Ω γ Λ L A c ) × f p m ( i ) ( 1 2 f A , τ γ Λ L A c ) ,
δ p m = ω n p m ω n 00 c / Λ
η = η f A z L A ,
τ = τ + γ Λ L A c ( η f A + 1 2 )
f p m ( i ) ( η , τ ) = φ p m ( i ) ( η , τ ) × exp [ ( ln R i δ p m + i δ Ω γ Λ L A c ) ( η + 1 / 2 ) ] .
φ p m ( i ) η ( ln R i δ p m + i δ Ω γ Λ c ) φ p m ( i ) + γ Λ c φ p m ( i ) τ = α L A exp [ ( ln R i δ p m + i δ Ω γ Λ L A c ) ( η + 1 / 2 ) ] × 0 d ρ ρ 0 2 π d φ A p m ( i ) * P ,
φ p m ( i ) ( 1 2 , τ ) = φ p m ( i ) ( 1 2 , τ ) .
α L A 1 , T 1 R 1 ,
α L A / T 2 C
δ Ω γ Λ c = O ( T ) .
| δ p m 2 π M p m | = O ( T ) .
γ Λ c T 1
κ = c T Λ γ
φ p m ( i ) ( η , τ ) = Φ p m ( i ) ( η , τ ) exp [ 2 π i M p m ( η + 1 / 2 ) ] ,
Φ p m ( i ) η = O ( T ) ,
Φ p m ( i ) η ( ln R i δ ¯ p m + i δ Ω γ Λ c ) Φ p m ( i ) + γ Λ c Φ p m ( i ) τ = α L A exp [ ( ln R i δ ¯ p m + i δ Ω γ Λ L A c ) ( η + 1 / 2 ) ] × 0 d ρ ρ 0 2 π d φ A p m ( i ) * P ,
δ ¯ p m = δ p m 2 π M p m .
Ψ p m ( i ) ( τ ) = 1 / 2 + 1 / 2 d η Φ p m ( i ) ( η , τ ) .
Ψ p m ( i ) τ = κ ( 1 + i a p m i δ Ω / κ ) Ψ p m ( i ) 2 C κ 1 / 2 + 1 / 2 d η 0 d ρ ρ 0 2 π d φ A p m ( i ) * ( ρ , φ , η ) P ,
a p m = δ ¯ p m / T
δ Ω κ = δ A C 1 + κ = Δ .
L A Λ η 1 ,
A p m ( i ) ( ρ , φ , η ) A p m ( i ) ( ρ , φ , 0 ) A p m ( i ) ( ρ , φ ) ,
Ψ p m ( i ) τ = κ ( 1 + i a p m Δ ) Ψ p m ( i ) 2 C κ 0 d ρ ρ 0 2 π d φ A p m ( i ) ( ρ , φ ) P ( ρ , φ , τ ) ,
P τ = [ F D + ( 1 + i Δ ) P ] ,
D τ = γ [ 1 2 ( F * P + F P * ) + D χ ( ρ ) ] ,
F ( ρ , φ , τ ) = p m i A p m ( i ) ( ρ , φ ) Ψ p m ( i ) ( τ ) .
ρ = ρ / η 1 ,
Ψ ¯ p m ( i ) = Ψ p m ( i ) η 1
A ¯ p m ( i ) ( ρ , φ ) = 2 ( 2 ρ 2 ) m / 2 [ p ! ( p + m ) ! ] 1 / 2 L p m ( 2 ρ 2 ) × exp ( ρ 2 ) B m ( φ ) = η 1 A p m ( i ) ( ρ , φ ) ,
Ψ ¯ p m ( i ) τ = κ ( 1 + i a p m i Δ ) Ψ ¯ p m ( i ) 2 C k 0 d ρ ρ 0 2 π d φ A ¯ p m ( i ) P ,
P τ = [ F D + ( 1 + i Δ ) P ] ,
D τ = γ [ 1 2 ( F * P + F P * ) + D χ ( ρ ) ] ,
F ( ρ , φ , τ ) = p m i A ¯ p m ( i ) ( ρ , φ ) Ψ ¯ p m ( i ) ( τ )
0 d ρ ρ 0 2 π d φ A ¯ p m ( i ) * ( ρ , φ ) A ¯ p m ( i ) ( ρ , φ ) = δ p p δ m m δ i i .
( 1 4 2 ρ 2 ) A ¯ p m ( i ) = ( 2 p + m + 1 ) A ¯ p m ( i ) ,
2 = 2 ρ 2 + 1 ρ ρ + 1 ρ 2 2 φ 2 .
F τ = κ [ 1 i Δ i a 2 ( 1 4 2 ρ 2 + 1 ) ] × F 2 C κ P ( ρ , φ , τ ) ,
a = 4 T ( tan 1 1 f A 2 η 2 + tan 1 f A 2 η 1 ) .
P ( ρ , φ , τ ) = p m i A ¯ p m ( i ) ( ρ , φ ) p p m ( i ) ( τ ) ,
D ( ρ , φ , τ ) = p m i A ¯ p m ( i ) ( ρ , φ ) d p m ( i ) ( τ ) ,
Ψ ¯ p m ( i ) τ = κ ( 1 + i a p m i Δ ) Ψ ¯ p m ( i ) 2 C κ p p m ( i ) ,
p p m ( i ) τ = [ p m i p m i Γ ( σ , σ , σ ) Ψ ¯ p m ( i ) d p m ( i ) + ( 1 + i Δ ) p p m ( i ) ] ,
d p m ( i ) τ = γ { 1 2 [ p m i p m i Γ ( σ , σ , σ ) × Ψ ¯ p m ( i ) * p p m ( i ) + c . c . ] + d p m ( i ) χ p m ( i ) } ,
Γ ( σ , σ , σ ) = 0 d ρ ρ 0 2 π d φ A ¯ p m ( i ) A ¯ p m ( i ) A ¯ p m ( i ) ,
χ p m ( i ) = 0 d ρ ρ 0 2 π d φ A ¯ p m ( i ) χ ( ρ ) .
Ψ ¯ p τ = κ Ψ ¯ p i κ ( a p Δ ) Ψ ¯ p 2 C κ p p ,
p p τ = [ p p Γ p p p Ψ ¯ p d p ( 1 + i Δ ) p p ] ,
d p τ = γ [ 1 2 ( p p Γ p p p Ψ ¯ p * p p + c . c . ) + d p χ p ] .
A ¯ p ( ρ ) = 2 L p ( 2 ρ 2 ) exp ( ρ 2 ) ,
0 d ρ ρ A ¯ p ( ρ ) A ¯ q ( ρ ) = δ p q .
κ = κ g p , g p = 1 + β p 4 ( p = 0 , 1 , 2 , ) ,
χ p = ( 1 ) p .
a p = a 1 p ,
a 1 = δ 1 2 π .
Re ( Ψ ¯ p st ) = ( 1 I p g p { 2 C g p [ 1 + ( Δ ) 2 ] } ) ,
Im ( Ψ ¯ p st ) = 0 ,
= κ a p 1 + κ ,
I p = q Γ p p q Γ q p p = 4 0 d x e 2 x [ L p ( x ) ] 4 ,
= κ ( 2 C 1 Δ 2 ) ( a 1 + Δ β ) 4 ( 1 + κ ) ( 1 + Δ 2 ) ( a 1 2 + β 2 ) .
Φ ( t ) = 2 π 0 d ρ ρ | F ( ρ , t ) | 2 = 2 π p | Ψ ¯ p ( t ) | 2 ,
C max ( 0 , ρ ) = Max ( δ τ ) × I ( 0 , τ ) I ( ρ , τ + δ τ ) I ( 0 , τ ) I ( ρ , τ ) σ ( 0 ) σ ( ρ ) ,
2 E ( r , z , t ) 1 c 2 2 t 2 E ( r , z , t ) = 0 ,
2 2 r 2 + 1 r r + 2 z 2
E ( r , z , t ) = A ( r , z ) exp [ i ( k z ω t ) ] ,
( 2 r 2 + 1 r r ) A ( r , z ) + 2 i k z A ( r , z ) = 0
η = z Λ , ρ = ( π Λ λ ) 1 / 2 r ,
A η = i 4 ( 2 ρ 2 + 1 ρ ρ ) A .
A ( 1 ) ( ρ , η ) = 2 υ ( η ) L p [ 2 ρ 2 υ 2 ( η ) ] exp [ ρ 2 υ 2 ( η ) + i ρ 2 u ( η ) ] × exp [ i ( 2 p + 1 ) tan 1 η / η 1 ] ,
υ ( η ) = η 1 [ 1 + ( η / η 1 ) 2 ] 1 / 2
u ( η ) 1 η ( η 1 2 + η 2 )
η 1 = υ ( 0 )
A ( 2 ) ( ρ , η ) = 2 α ( η ) L p [ 2 ρ 2 α 2 ( η ) ] exp [ ρ 2 α 2 ( η ) + i ρ β ( η ) ] × exp [ i ( 2 p + 1 ) tan 1 η 1 / 2 η 2 ] exp ( i φ ) ,
α ( η ) = η 2 [ 1 + ( η 1 / 2 η 2 ) 2 ] 1 / 2 ,
β ( η ) = 1 η 1 / 2 [ ( η 1 / 2 ) 2 + η 2 2 ] ,
1 q ( η ) = 1 u ( η ) + i 1 υ 2 ( η ) .
q 2 = q 1 + d
q 2 = q 1 2 ρ 0 q 1 + 1 ,
f = L / Λ ,
q ( η = 0 ) = i υ 2 ( 0 ) = i η 1 ,
q ( η = 1 2 f ) = q ( η = 0 ) + 1 2 f
q ( η = 1 2 f + ) = q ( η = 1 2 f + ) 2 ρ 0 q ( η = 1 2 f ) + 1 ,
q ( η = 1 ) = q ( η = 1 1 2 f + ) + 1 2 f q ( η = 0 ) ,
η 1 = 1 2 [ ( ρ 0 f ) ( ρ 0 + f 2 f ) ρ 0 + f 1 ] 1 / 2 ,
η 2 = 1 ρ 0 2 η 1 [ η 1 2 ( 1 f ρ 0 ) 2 + 1 4 ( ρ 0 + f 2 f ) 2 ] .
R = exp ( i 2 ρ 2 ρ 0 ) .
R E ( 1 ) ( η = 1 2 f , ρ , t ) = E ( 2 ) ( η = 1 2 f + , ρ , t ) .
υ 2 ( η = 1 2 f ) = α 2 ( η = 1 2 f + ) ,
2 ρ 0 + 1 u ( η = 1 2 f ) = 1 β ( η = 1 2 f + ) .
φ = ( 2 p + 1 ) ( tan 1 f 2 η 1 + tan 1 1 f 2 η 2 ) ,
R E ( 2 ) ( η = 1 2 f , ρ , t ) = E ( 1 ) ( η = 1 2 f + , ρ , t ) ,
ω n , p = 2 π c Λ n + 2 c Λ ( 2 p + 1 ) ( tan 1 1 f 2 η 2 + tan 1 f 2 η 1 ) ( n , p = 0 , 1 , 2 , ) .
2 = 2 ρ 2 + 1 ρ ρ + 1 ρ 2 2 φ 2 ,
A p m ( ρ , φ , η ) = B m ( φ ) C p m ( ρ , η ) exp [ i θ p m ( ρ , η ) ] ,
B m ( φ ) = { 1 2 π m = 0 1 π sin m φ m > 0 , 1 π cos m φ m > 0
C p m ( ρ , η ) = 2 υ ( η ) [ 2 ρ 2 υ 2 ( η ) ] m / 2 [ p ! ( p + m ) ! ] 1 / 2 × L p m [ 2 ρ 2 υ 2 ( η ) ] exp [ ρ 2 υ 2 ( η ) ] ,
θ p m ( ρ , η ) = ρ 2 u ( η ) ( 2 p + m + 1 ) tan 1 η / η 1 ( p = 0 , 1 , 2 , ; m = 0 , 1 , 2 , ) .
0 2 π d φ 0 d ρ ρ A p m ( i ) * ( ρ , φ , η ) A p m ( i ) ( ρ , φ , η ) = δ p p , δ m m δ i i .
ω n , p , m = 2 π c Λ n + 2 c Λ ( 2 p + m + 1 ) × [ tan 1 1 f 2 η 2 + tan 1 f 2 η 1 ] ,
n , p , m = 0 , 1 , 2 ,
ω n , p , m = π c / Λ [ 2 ( n + p ) + m + 1 ] .
Γ p , p , p = 0 d ξ ξ A ¯ p A ¯ p , A ¯ p ,
A ¯ p ( ξ ) = 2 L p ( 2 ξ 2 ) exp ( ξ 2 ) .
Γ p , p , p = 2 0 d x exp ( 3 2 x ) L p ( x ) L p ( x ) L p ( x ) .
n L n ( x ) = ( 2 n 1 x ) L n 1 ( x ) ( n 1 ) L n 2 ( x ) ( n 1 )
x d L n ( x ) d x = n L n ( x ) n L n 1 ( x ) .
Γ p , p , p = 2 0 d x exp ( 3 2 x ) L p L p × ( 2 p 1 p L p 1 x p L p 1 p 1 p L p 2 ) ,
Γ p , p , p = 2 p 1 p Γ p , p , p 1 p 1 p Γ p , p , p 2 1 p × 2 0 d x exp ( 3 2 x ) x L p L p L p 1 .
0 d x exp ( 3 2 x ) x L p L p L p 1 = 2 3 0 d x exp ( 3 2 x ) × ( x d L p d x L p L p 1 + x d L p d x L p L p 1 + x d L p 1 d x L p L p + L p L p L p 1 ) ,
Γ p , p , p = 2 p + 2 p 4 p + 3 3 p Γ p , p , p 1 1 3 p 1 p Γ p , p , p 2 + 2 3 p p Γ p , p 1 , p 1 + 2 3 p p Γ p 1 , p , p 1 ( p 1 ) .
Γ p , p Γ p , p , 0 = 2 0 d x exp ( 3 2 x ) L p L p .
Γ p , p = 2 p 4 p + 3 3 p Γ p , p 1 1 3 p 1 p Γ p , p 2 + 2 3 p p Γ p 1 , p 1 ( p 1 ) .
Γ p , 0 = 4 / 3 p + 1 .
Ψ ¯ p st = e i Ψ ¯ p = x p + i y p ,
x 0 ( 1 + 2 x 0 2 + 2 x 0 x 1 + x 1 2 ) + [ ( a 1 κ Δ ) y 1 g 1 x 1 ] × ( x 0 2 + 2 x 0 x 1 + x 1 2 ) + x 0 ( κ + Δ ) ( Δ + x 0 y 1 + x 1 y 1 ) [ ( a 1 κ Δ ) x 1 + g 1 y 1 ] ( x 0 y 1 + 1 2 x 1 y 1 ) + 2 C x 0 = 0 ,
x 0 ( Δ + x 0 y 1 + x 1 y 1 ) + x 0 ( κ + Δ ) ( 1 + y 1 2 ) + [ ( a 1 κ Δ ) y 1 + g 1 x 1 ] ( x 0 y 1 + 1 2 x 1 y 1 ) y 1 2 2 [ ( a 1 κ Δ ) x 1 + g 1 y 1 ] = 0 ,
x 0 ( x 0 2 + 2 x 0 x 1 + 1 2 x 1 2 ) + x 0 y 1 ( κ + Δ ) ( x 0 + 1 2 x 1 ) + ( 1 + x 0 2 + x 0 x 1 + x 1 2 ) [ ( a 1 κ Δ ) y 1 g 1 x 1 ] ( Δ + 1 2 x 0 y 1 + x 1 y 1 ) [ ( a 1 κ Δ ) x 1 + g 1 y 1 ] + 2 C x 1 = 0 ,
x 0 y 1 ( x 0 + 1 2 x 1 ) + 1 2 x 0 y 1 2 ( κ + Δ ) + ( Δ + 1 2 x 0 y 1 + x 1 y 1 ) [ ( a 1 κ Δ ) y 1 g 1 x 1 ] ( 1 + y 1 2 ) [ ( a 1 κ Δ ) x 1 + g 1 y 1 ] + 2 C y 1 = 0.

Metrics