Abstract

The theory of amplified spontaneous emission (ASE) and the gain–length product at saturation is revised. Formulas valid for both peak and integrated lines are given. In the latter case the solution for a general Voigt stimulated-emission line shape is presented, whereas in the two limiting cases of Gaussian and Lorentzian line shapes an approximation better than the one obtained by the steepest-descent method is successfully achieved. Various parameters that take into account the ratio of spontaneous to stimulated linewidths, the form factor depending on the linewidths of the inhomogeneous and homogeneous convoluted line shapes, and the population inversion fraction arise from the theory, giving the complete functional dependence for both the ASE photon flux and the gain–length product.

© 1999 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. G. J. Linford, E. R. Peressini, W. R. Sooy, and M. L. Spaeth, Appl. Opt. 13, 379 (1974).
    [CrossRef] [PubMed]
  2. R. A. London, Phys. Fluids 31, 184 (1988).
    [CrossRef]
  3. R. C. Elton, X-RAY Lasers (Academic, San Diego, Calif., 1990).
  4. O. Svelto, S. Taccheo, and C. Svelto, Opt. Commun. 149, 277 (1998).
    [CrossRef]
  5. A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
    [CrossRef] [PubMed]
  6. E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
    [CrossRef]
  7. L. W. Casperson, J. Appl. Phys. 48, 256 (1977).
    [CrossRef]
  8. W. Magnus, F. Oberhettinger, and R. P. Soni, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics (Springer-Verlag, New York, 1966).

1998

O. Svelto, S. Taccheo, and C. Svelto, Opt. Commun. 149, 277 (1998).
[CrossRef]

1992

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

1991

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

1988

R. A. London, Phys. Fluids 31, 184 (1988).
[CrossRef]

1977

L. W. Casperson, J. Appl. Phys. 48, 256 (1977).
[CrossRef]

1974

Carillon, A.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Casperson, L. W.

L. W. Casperson, J. Appl. Phys. 48, 256 (1977).
[CrossRef]

Chen, H. Z.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Dhez, P.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Dwivedi, L.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Harvey, E. C.

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

Hooker, C. J.

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

Jacoby, J.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Jaegle, P.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Jamelot, G.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Key, M. H.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

Kidd, A.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Kidd, A. K.

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

Klisnick, A.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Kodama, R.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Krishnan, J.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Leland, W. T.

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

Lewis, C. L. S.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Linford, G. J.

Lister, J. M. D.

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

London, R. A.

R. A. London, Phys. Fluids 31, 184 (1988).
[CrossRef]

Neely, D.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Norreys, P.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

O’Neill, D.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Peressini, E. R.

Pert, G. J.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Ramsden, S. A.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Raucourt, J. P.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Shaw, M. J.

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

Sooy, W. R.

Spaeth, M. L.

Svelto, C.

O. Svelto, S. Taccheo, and C. Svelto, Opt. Commun. 149, 277 (1998).
[CrossRef]

Svelto, O.

O. Svelto, S. Taccheo, and C. Svelto, Opt. Commun. 149, 277 (1998).
[CrossRef]

Taccheo, S.

O. Svelto, S. Taccheo, and C. Svelto, Opt. Commun. 149, 277 (1998).
[CrossRef]

Tallents, G. J.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Uhomoibhi, J.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Zhang, J.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Appl. Opt.

J. Appl. Phys.

E. C. Harvey, C. J. Hooker, M. H. Key, A. K. Kidd, J. M. D. Lister, M. J. Shaw, and W. T. Leland, J. Appl. Phys. 70, 5238 (Nov. 1991).
[CrossRef]

L. W. Casperson, J. Appl. Phys. 48, 256 (1977).
[CrossRef]

Opt. Commun.

O. Svelto, S. Taccheo, and C. Svelto, Opt. Commun. 149, 277 (1998).
[CrossRef]

Phys. Fluids

R. A. London, Phys. Fluids 31, 184 (1988).
[CrossRef]

Phys. Rev. Lett.

A. Carillon, H. Z. Chen, P. Dhez, L. Dwivedi, J. Jacoby, P. Jaegle, G. Jamelot, J. Zhang, M. H. Key, A. Kidd, A. Klisnick, R. Kodama, J. Krishnan, C. L. S. Lewis, D. Neely, P. Norreys, D. O’Neill, G. J. Pert, S. A. Ramsden, J. P. Raucourt, G. J. Tallents, and J. Uhomoibhi, Phys. Rev. Lett. 68, 2917 (1992).
[CrossRef] [PubMed]

Other

R. C. Elton, X-RAY Lasers (Academic, San Diego, Calif., 1990).

W. Magnus, F. Oberhettinger, and R. P. Soni, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics (Springer-Verlag, New York, 1966).

Cited By

OSA participates in CrossRef's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (4)

Fig. 1
Fig. 1

Possible geometry for the gain medium.

Fig. 2
Fig. 2

Numerical solutions (diamonds) for Δνase compared with analytical formula (36) for different values of ΔνG and ΔνL: (a) ΔνG=0.5, ΔνL=0.5; (b) ΔνG=1.0, ΔνL=1.0; (c) ΔνG=1.0, ΔνL=0.2; (d) ΔνG=0.2, ΔνL=1.0. We see how the analytical solution gives relatively worse results when the Lorentzian linewidth becomes large with respect to the Gaussian one [e.g., (d)]. This outcome is due to the fact that the Lorentzian line shape decays to zero much slower than a Gaussian line shape, thus giving a larger error in the Gaussian approximation of the F function. In any case the analytical solution converges to the numerical one for large values of x.

Fig. 3
Fig. 3

Relative errors with respect to the numerical evaluation of the J integral for curve a, the Gaussian line profile; b, the Lorentzian line profile; c, the Gaussian line profile from the Linford–Svelto formula; d, the Lorentzian line profile from the Linford–Svelto formula.

Fig. 4
Fig. 4

Relative errors with respect to the numerical evaluation of the J integral for a general line shape and various values of the inhomogeneous and homogeneous linewidths. The curves a and e coincide with the curves a and d, respectively, of Fig. 3 since they are the limiting curves for (ΔνG=1, ΔνL=0) and (ΔνG=0, ΔνL=1), respectively.

Equations (80)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

ddzϕase(ν, z)=g0(ν)ϕase(ν, z)+sp(ν)dΩ4π.
sp(ν)N2A21(ν),
ϕase(ν, L)=sp(ν)g0(ν)dΩ4π{exp[g0(ν)L]-1}.
sp(ν)spSsp(ν),
g0(ν)g0S(ν)/S0,
g0=ΔNσe=N2ησe,
ϕase(ν, L)=spg0Ssp(ν)S(ν)S0dΩ4π{exp[g0(ν)L]-1}.
Φase(L)=ϕase(ν, L)dν=spg0S0dΩ4πSsp(ν)S(ν){exp[g0LS(ν)/S0]-1}dν.
ξ-1Ssp(ν0)S(ν0)=ΔνstΔνsp,
Φase(x)=spg0ξ-1S0dΩ4πJ(x),
J(x)={exp[xS(ν)/S0]-1}dν.
H(ν0)=F(ν0)=exp(x)-1,
H(Δνase)=F(Δνase)=exp[xS(Δνase)/S0]-1,
q=exp(x)-1.
J(x)=π1/2[exp(x)-1]Δνase.
S(ν)=-SG(ν-v)SL(v)dv,
SG(ν)=1ΔνGπ1/2exp(-ν2/ΔνG2),
SL(ν)=(e-1)1/2πΔνL1+ν2(e-1)ΔνL2-1,
Φase(x)=spg0dΩ4π[exp(x)-1]ΔνaseΔνspβ,
S(ν)=1πΔνGR[exp(ζ2)erfc(ζ)],
ζΔνLΔνG(e-1)1/2+iνΔνG.
S(ν)|ΔνL=0=1ΔνGπ1/2exp(-ν2/ΔνG2)=SG(ν).
erfc(z)zexp(-z2)πz.
S(ν)|ΔνG=0=e-1πΔνL1+ν2(e-1)ΔνL2-1=SL(ν).
R(exp(ζ2)erfc(ζ))exp[R2(ζ)]erfc(R(ζ))=1h(x),
h(x)xln[1+[exp(x)-1]/e].
exp[-I2(ζ)]=1/h(x),
Δνase=ΔνGln[h(x)].
1+I2(ζ)/R2(ζ)=h(x).
Δνase=ΔνLe-1h(x)-1.
ln[h(x)]1/x,
h(x)-11/x,
ΔνaseΔνGx-1/2,
ΔνaseΔνLe-1x-1/2.
1h(x)=1+I2(ζ)2R(ζ)exp[-R2(ζ)]π erfc[R(ζ)]-1-2R2(ζ).
Δνase(x, ΔνG, ΔνL)=Ψ(ΔνG, ΔνL)1-1h(x)1/2,
Ψ(ΔνG, ΔνL)ΔνG1+2ΔνL2ΔνG2(e-1)-2ΔνL exp-ΔνL2ΔνG2(e-1)πΔνGe-1 erfcΔνLΔνGe-11/2.
d2dν2H(ν=0)=d2dν2F(ν=0).
Δνase(x, ΔνG, ΔνL)=Ψ(ΔνG, ΔνL)exp(x)-1x exp(x),
J(x)=πΨ[exp(x)-1]P(x),
P(x)=exp(x)-1x exp(x)1/2for aVoigtlineshape
=ln[h(x)]for aGaussianlineshape
=h(x)-1e-11/2for aLorentzianlineshape,
Ψ=Ψ(ΔνG, ΔνL)for aVoigtlineshape
=ΔνGfor aGaussianlineshape
=ΔνLfor aLorentzianlineshape.
Φase(x)=spg0ξ-1[exp(x)-1]ln[h(x)]dΩ4π
Φase(x)=π-1/2spg0ξ-1[exp(x)-1]h(x)-1dΩ4π
Φase(x)=spg0ξ-1exp(x)-1xdΩ4π
Φase(x)=spg0ξ-1π-1/2exp(x)-1xdΩ4π
Φase(x)=spg0ξ-1[exp(x)-1]3/2x exp(x)Λ(ΔνG, ΔνL)dΩ4π,
Λ(ΔνG, ΔνL)=πS0(ΔνG, ΔνL)Ψ(ΔνG, ΔνL).
Δνase=Δνst1g0L1/2,
Rase=σe(ν)ϕase(ν, x)dν.
Raseτ2-1.
Rase(x)σe(ν)ϕase(x, ν)dν=spσeg0ξ-1S(ν){exp[xS(ν)/S0]-1}dν.
I(x)S(ν){exp[xS(ν)/S0]-1}dν.
I(x)S0{exp[xS(ν)/S0]-1}dν.
[S0J(x)]sat=πητ21τ2ξdΩ-1,
[exp(x)-1]sat=4πητ21τ2ΔνspΔνaseβ-1dΩ-1,
exp(x)-1xsat=4πκητ21τ2ξdΩ-1,
[exp(x)-1]3/2x[exp(x)]sat=4πητ21τ2ξΛ-1dΩ-1.
[exp(x)-1]sat=4πητ21τ2ξdΩ-1.
I(x)=S0ddxJ(x)-1.
I(x)=Λ[exp(x)-1]3/2x exp(x)32exp(x)exp(x)-1-121+xx-1,
[exp(x)-1]3/2x exp(x)32exp(x)exp(x)-1-121+xxsat=Λ-14πητ21τ2ξdΩ-1+1.
1=Λ-1.
FT[S]=expΔνLwe-1u(-w)+exp-ΔνLwe-1u(w)×exp(-1/4w2ΔνG2),
S(ν)=RexpΔνLΔνGe-1+iνΔνG2 erfcΔνLΔνGe-1+iνΔνGπΔνG.
S(ν)=RexpΔνLΔνGe-1+iνΔνG2Γ12, ΔνLΔνGe-1+iνΔνG2πΔνG,
Cητ21τ2ξ.
[x]sat=ln(4πdΩ-1)+ln(C).
[x]sat=ln(a)+ln(C)+ln([x]sat)/2,
C=ητ21τ2ξΛ-1.
x0=ln(a)+ln(x0)/2,
x-x0=ln(C)+ln(x/x0)/2,
Δx=ln(C)+ln(Δx/x0+1)/2.
Δx0=0,
Δxn+1=ln(C)+ln(Δxn/x0+1)/2,
n=1, 2, 3.

Metrics