Abstract

We present a bandwidth-limited signal reconstruction algorithm with high accuracy as a generalization of the conventional “self-truncating” method by using samples taken at a rate higher than the Nyquist rate. The extra sampling rate enables us to lower the truncation error by applying an appropriate window function that tapers the signal to be approximately limited in both the space and frequency domains up to exponentially small errors. The sampling theorem is used in the frequency domain for a space-limited signal to parameterize the tapered signal in terms of discrete samples in the frequency domain, which are determined by a least-squares fitting to handle both irregularly and regularly sampled data. Error analysis for the Gaussian and Kaiser window functions shows that the upper bounds of the errors for reconstructing the signal near the center of sampling decay exponentially in parameter qN faster than the error upper bound of the conventional “self-truncating” method, where q is the extra sampling rate relative to the Nyquist rate and 2N+1 is the number of samples used. We use simulation data to demonstrate the efficacy of this algorithm in reconstructing the fringe signals, which is crucial for the SIM (Space Interferometry Mission) PlanetQuest instrument calibration.

© 2008 Optical Society of America

Full Article  |  PDF Article

References

  • View by:
  • |
  • |
  • |

  1. C. E. Shannon, “Communication in the presence of noise,” Proc. IRE 37, 10-21 (1949).
    [CrossRef]
  2. E. T. Whittaker, “On the functions which are represented by the expansion of interpolating theory,” Proc. R. Soc. Edinburgh 35, 181-194 (1915).
  3. A. J. Jerri, “The Shannon sampling theorem--its various extensions and applications: a tutorial review,” Proc. IEEE 65, 1565-1596 (1977).
    [CrossRef]
  4. H. D. Helms and J. B. Thomas, “Truncation error of sampling-theorem expansions,” Proc. IRE 50, 179-184 (1962).
    [CrossRef]
  5. J. L. Brown, “Bounds for truncation error in sampling expansions of band-limited signals,” Int. J. Remote Sens. 15, 440-444 (1969).
  6. A. Papoulis, Signal Analysis (McGraw-Hill, 1977), pp. 68-69.
  7. E. Isaacson and H. B. Keller, Analysis of Numerical Methods (Dover, 1994), pp. 230-242.
  8. R. W. Hamming, Digital Filters (Prentice Hall, 1977), pp. 153-154.
  9. A. Papoulis, “Error analysis in sampling theory,” Proc. IEEE 54, 947-955 (1966).
    [CrossRef]
  10. J. Marr, “SIM-PlanetQuest: progress report,” Proc. SPIE 6268, 626822-1-11 (2006).
  11. R. A. Laskin, “Successful completion of SIM-PlanetQuest technology,” Proc. SPIE 6568, pp. 626823-1-24 (2006).
  12. S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
    [CrossRef]
  13. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon, 1980).
  14. M. H. Milman, C. Zhai, and M. Regehr, “White light interferometry using channeled signal. I. General models and fringe estimation algorithms,” Appl. Opt. 46, 5853-5865 (2007).
    [CrossRef] [PubMed]
  15. A. J. Pickles, “A stellar spectral flux library: 1150-25000 Å,” Publ. Astron. Soc. Pac. 110, 863-878 (1998).
    [CrossRef]
  16. A. J. Jerri, The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations (Kluwer Academic, 1998), pp. 42-43.

2008 (1)

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

2007 (1)

2006 (2)

J. Marr, “SIM-PlanetQuest: progress report,” Proc. SPIE 6268, 626822-1-11 (2006).

R. A. Laskin, “Successful completion of SIM-PlanetQuest technology,” Proc. SPIE 6568, pp. 626823-1-24 (2006).

1998 (1)

A. J. Pickles, “A stellar spectral flux library: 1150-25000 Å,” Publ. Astron. Soc. Pac. 110, 863-878 (1998).
[CrossRef]

1977 (1)

A. J. Jerri, “The Shannon sampling theorem--its various extensions and applications: a tutorial review,” Proc. IEEE 65, 1565-1596 (1977).
[CrossRef]

1969 (1)

J. L. Brown, “Bounds for truncation error in sampling expansions of band-limited signals,” Int. J. Remote Sens. 15, 440-444 (1969).

1966 (1)

A. Papoulis, “Error analysis in sampling theory,” Proc. IEEE 54, 947-955 (1966).
[CrossRef]

1962 (1)

H. D. Helms and J. B. Thomas, “Truncation error of sampling-theorem expansions,” Proc. IRE 50, 179-184 (1962).
[CrossRef]

1949 (1)

C. E. Shannon, “Communication in the presence of noise,” Proc. IRE 37, 10-21 (1949).
[CrossRef]

1915 (1)

E. T. Whittaker, “On the functions which are represented by the expansion of interpolating theory,” Proc. R. Soc. Edinburgh 35, 181-194 (1915).

Allen, R. J.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Beichman, C. A.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Boboltz, D.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Born, M.

M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon, 1980).

Brown, J. L.

J. L. Brown, “Bounds for truncation error in sampling expansions of band-limited signals,” Int. J. Remote Sens. 15, 440-444 (1969).

Catanzaritz, J. H.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Chaboyer, B. C.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Ciardi, D. R.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Edberg, S. J.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Fey, A. L.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Fischer, D. A.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Gelino, C. R.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Gould, A. P.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Grillmair, C.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Hamming, R. W.

R. W. Hamming, Digital Filters (Prentice Hall, 1977), pp. 153-154.

Helms, H. D.

H. D. Helms and J. B. Thomas, “Truncation error of sampling-theorem expansions,” Proc. IRE 50, 179-184 (1962).
[CrossRef]

Henry, T. J.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Isaacson, E.

E. Isaacson and H. B. Keller, Analysis of Numerical Methods (Dover, 1994), pp. 230-242.

Jerri, A. J.

A. J. Jerri, “The Shannon sampling theorem--its various extensions and applications: a tutorial review,” Proc. IEEE 65, 1565-1596 (1977).
[CrossRef]

A. J. Jerri, The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations (Kluwer Academic, 1998), pp. 42-43.

Johnston, K. J.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Johnston, K. V.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Jones, D. L.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Keller, H. B.

E. Isaacson and H. B. Keller, Analysis of Numerical Methods (Dover, 1994), pp. 230-242.

Kulkarni, S. R.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Laskin, R. A.

R. A. Laskin, “Successful completion of SIM-PlanetQuest technology,” Proc. SPIE 6568, pp. 626823-1-24 (2006).

Law, N. M.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Majewski, S. R.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Makarov, V. V.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Marcy, G. W.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Marr, J.

J. Marr, “SIM-PlanetQuest: progress report,” Proc. SPIE 6268, 626822-1-11 (2006).

Meier, D. L.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Milman, M. H.

Olling, R. P.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Pan, X.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Papoulis, A.

A. Papoulis, “Error analysis in sampling theory,” Proc. IEEE 54, 947-955 (1966).
[CrossRef]

A. Papoulis, Signal Analysis (McGraw-Hill, 1977), pp. 68-69.

Patterson, R. J.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Pickles, A. J.

A. J. Pickles, “A stellar spectral flux library: 1150-25000 Å,” Publ. Astron. Soc. Pac. 110, 863-878 (1998).
[CrossRef]

Pitesky, J. E.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Quirrenbach, A.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Regehr, M.

Shaklan, S. B.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Shannon, C. E.

C. E. Shannon, “Communication in the presence of noise,” Proc. IRE 37, 10-21 (1949).
[CrossRef]

Shao, M.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Shaya, E. J.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Strigari, L. E.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Tanner, A. M.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Thomas, J. B.

H. D. Helms and J. B. Thomas, “Truncation error of sampling-theorem expansions,” Proc. IRE 50, 179-184 (1962).
[CrossRef]

Tornsick, J. A.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Unwin, S. C.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Wehrle, A. E.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Whittaker, E. T.

E. T. Whittaker, “On the functions which are represented by the expansion of interpolating theory,” Proc. R. Soc. Edinburgh 35, 181-194 (1915).

Wolf, E.

M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon, 1980).

Worthey, G.

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

Zhai, C.

Appl. Opt. (1)

Int. J. Remote Sens. (1)

J. L. Brown, “Bounds for truncation error in sampling expansions of band-limited signals,” Int. J. Remote Sens. 15, 440-444 (1969).

Proc. IEEE (2)

A. J. Jerri, “The Shannon sampling theorem--its various extensions and applications: a tutorial review,” Proc. IEEE 65, 1565-1596 (1977).
[CrossRef]

A. Papoulis, “Error analysis in sampling theory,” Proc. IEEE 54, 947-955 (1966).
[CrossRef]

Proc. IRE (2)

H. D. Helms and J. B. Thomas, “Truncation error of sampling-theorem expansions,” Proc. IRE 50, 179-184 (1962).
[CrossRef]

C. E. Shannon, “Communication in the presence of noise,” Proc. IRE 37, 10-21 (1949).
[CrossRef]

Proc. R. Soc. Edinburgh (1)

E. T. Whittaker, “On the functions which are represented by the expansion of interpolating theory,” Proc. R. Soc. Edinburgh 35, 181-194 (1915).

Proc. SPIE (2)

J. Marr, “SIM-PlanetQuest: progress report,” Proc. SPIE 6268, 626822-1-11 (2006).

R. A. Laskin, “Successful completion of SIM-PlanetQuest technology,” Proc. SPIE 6568, pp. 626823-1-24 (2006).

Publ. Astron. Soc. Pac. (2)

S. C. Unwin, M. Shao, A. M. Tanner, R. J. Allen, C. A. Beichman, D. Boboltz, J. H. Catanzaritz, B. C. Chaboyer, D. R. Ciardi, S. J. Edberg, A. L. Fey, D. A. Fischer, C. R. Gelino, A. P. Gould, C. Grillmair, T. J. Henry, K. V. Johnston, K. J. Johnston, D. L. Jones, S. R. Kulkarni, N. M. Law, S. R. Majewski, V. V. Makarov, G. W. Marcy, D. L. Meier, R. P. Olling, X. Pan, R. J. Patterson, J. E. Pitesky, A. Quirrenbach, S. B. Shaklan, E. J. Shaya, L. E. Strigari, J. A. Tornsick, A. E. Wehrle, and G. Worthey, “Taking the measure of the Universe: precision astrometry with SIM PlanetQuest,” Publ. Astron. Soc. Pac. 120, 38-88 (2008).
[CrossRef]

A. J. Pickles, “A stellar spectral flux library: 1150-25000 Å,” Publ. Astron. Soc. Pac. 110, 863-878 (1998).
[CrossRef]

Other (5)

A. J. Jerri, The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations (Kluwer Academic, 1998), pp. 42-43.

M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon, 1980).

A. Papoulis, Signal Analysis (McGraw-Hill, 1977), pp. 68-69.

E. Isaacson and H. B. Keller, Analysis of Numerical Methods (Dover, 1994), pp. 230-242.

R. W. Hamming, Digital Filters (Prentice Hall, 1977), pp. 153-154.

Cited By

OSA participates in CrossRef's Cited-By Linking service. Citing articles from OSA journals and other participating publishers are listed here.

Alert me when this article is cited.


Figures (7)

Fig. 1
Fig. 1

Signal process used in the algorithm. Note that the scale of the x axis in plot (e) is different from plots (a) and (c), where the total range is only L.

Fig. 2
Fig. 2

Largest RMS of δ f ( x ) over range x < L c , where L c = 10 Δ L and N = 50 , estimated using samples from 5000 Monte Carlo runs.

Fig. 3
Fig. 3

Sampling K5 giant star spectrum and a third-order polynomial dispersion curve used in the simulation.

Fig. 4
Fig. 4

Fringe signal and the sampled calibration data.

Fig. 5
Fig. 5

Fringe reconstruction error for Gaussian and Kaiser window functions.

Fig. 6
Fig. 6

Fringe reconstruction error using regular and regular sampling.

Fig. 7
Fig. 7

Fringe reconstruction error decays exponentially as the number of samples increases; L c = 10 Δ L .

Tables (1)

Tables Icon

Table 1 Upper Bound Ratio between the Response and the Input Error ϵ Over Range x < L c = 10 Δ L Estimated Using Samples from 5000 Monte Carlo Runs

Equations (112)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

f ̃ ( k ) = 0 , for k > r k 0 ,
f ( x ) = n = f ( x n ) sin [ k 0 ( x x n ) ] k 0 ( x x n ) ,
F ̃ ( k ) = 1 2 π d k f ̃ ( k ) W ̃ ( k k ) = 1 2 π r k 0 r k 0 d k f ̃ ( k ) W ̃ ( k k ) ,
F T { n = δ ( x n L ) } = 2 π L m = δ ( k m 2 π L ) .
F ( x ) n = F ( x + n L ) ,
F T { F ( x ) } = F ( k ) ( 2 π L ) m = δ ( k m 2 π L )
F ( x ) = d k 2 π F ̃ ( k ) e i k x = 1 L m = F ̃ ( m 2 π L ) e i 2 π m x L .
F ( x ) m = M M F ̃ m e i 2 π m x L ,
F ̃ m 1 L F ̃ ( m 2 π L ) .
F ( x ) F ( x ) = n 1 F ( x + n L ) 0
Y [ y N , y N + 1 , , y N ] T ,
Y tapered [ y N tapered , y N + 1 tapered , , y N tapered ] T = W Y ,
W diag { W ( x N ) , W ( x N + 1 ) , , W ( x N ) } .
F ( x ) = f ( x ) W ( x ) m = M M F ̃ m e i 2 π m x L ,
min F ̃ m n = N N f ( x n ) W ( x n ) m = M M F ̃ m e i 2 π m x n L 2 .
X [ F ̃ 0 , F ̃ 1 , F ̃ 1 , , F ̃ M , F ̃ M ] T ,
min X Y tapered A X 2 ,
X ̂ = A Y tapered
A = [ 1 e i 2 π x N L e i 2 π x N L e i M 2 π x N L e i M 2 π x N L 1 e i 2 π x N + 1 L e i 2 π x N + 1 L e i M 2 π x N + 1 L e i M 2 π x N + 1 L 1 e i 2 π x N L e i 2 π x N L e i M 2 π x N L e i M 2 π x N L ] .
f ̂ ( x ) = m = M M F ̃ m e i 2 π m x L W ( x ) .
A X = Y tapered + ϵ ,
δ X = A ϵ .
δ f ( x ) = 1 W ( x ) m = M M δ X m e i 2 π m x L = 1 W ( x ) B ( x ) A ϵ ,
B ( x ) [ 1 , e i 2 π x L , e i 2 π x L , , e i M 2 π x L , e i M 2 π x L ] .
δ f ( x ) W ( x ) = n = N N ϵ n l = N , l n N sin [ π ( x x l ) L ] sin [ π ( x n x l ) L ] .
( δ f ( x ) ) 2 = 1 W ( x ) 2 B ( x ) A Q ϵ ( B ( x ) A ) T ,
Q ϵ ϵ ϵ T .
( δ f ( x ) ) 2 = 1 W ( x ) 2 B ( x ) A W Q δ Y W T ( B ( x ) A ) T .
max x L c [ RMS { δ f ( x ) } ] ,
R max max x L c δ f ( x ) max n N ϵ n .
e ( x ) e 1 ( x ) + e 2 ( x ) ,
e 1 ( x ) = m > N F ̃ m e 2 π i m x L ,
e 2 ( x ) = n 1 F ( x + n L ) .
F ̃ m = 1 L F ̃ ( 2 π m L ) = 1 L d x F ( x ) e 2 π i m x L .
f ( x ) = 1 2 π d k f ̃ ( k ) e i k x ,
F ̃ m = 1 L d x F ( x ) e 2 π i m x L = 1 2 π L d x d k f ̃ ( k ) W ( x ) e i ( k 2 π m L ) x = 1 2 π L d k f ̃ ( k ) W ̃ ( 2 π m L k ) ,
W ̃ ( k ) d x W ( x ) e i k x ,
e 1 ( x ) = 1 2 π L m > M r k 0 r k 0 d k f ̃ ( k ) W ̃ ( 2 π m L k ) e 2 π i m x L .
δ f ( x ) 1 W ( x ) ( max x L c e ( x ) + R max max n N { e ( x n ) } )
for x L c .
W g ( x ) = e x 2 ( 2 L g 2 ) ,
e ( x ) M e π N q 2 [ 1 2 N 2 π q r 1 sinh ( π 2 ) + 2 1 e 4 π N q ] ,
M r k 0 E π ,
E d x f ( x ) 2 = 1 2 π r k 0 r k 0 d k f ̃ ( k ) 2 .
e ( x ) 2 e π N q 2 M ,
W K ( x ) = { I 0 ( q k 0 L 2 4 x 2 ) I 0 ( q k 0 L 2 ) for x < L 2 0 for x L 2 } ,
W ̃ K ( k ) = 2 I 0 ( q k 0 L 2 ) sinh ( L 2 q 2 k 0 2 k 2 ) q 2 k 0 2 k 2 .
e ( x ) 2 M I 0 ( π N q ) { 1 π ln ( 2 + 3 ) + 1 cos ( π x L ) [ 1 3 π N q + 1 3 1 2 ] } .
e ( x ) M I 0 ( π N q ) 1 cos π x L .
e ( x ) M I 0 ( π N q ) [ 1.9 + 2 π ln ( 2 q + 1 ) + ln 2 N q 2 ] .
I ( u ) = 0 d k S ( k ) T ( k ) { 1 + V ( k ) cos [ k u + ϕ ( k ) ] } ,
e 1 ( x ) 1 2 π L r k 0 r k 0 d k f ̃ ( k ) m > N W ̃ ( 2 π m L k ) 1 2 π L r k 0 r k 0 d k f ̃ ( k ) m > N { W ̃ ( 2 π m L k ) + W ̃ ( 2 π m L k ) } 1 2 π L r k 0 r k 0 d k f ̃ ( k ) 2 { r k 0 r k 0 d k m > N W ̃ ( 2 π m L k ) 2 + r k 0 r k 0 d k m > N W ̃ ( 2 π m L k ) 2 } 2 π E π L r k 0 r k 0 d k m > N W ̃ ( 2 π m L k ) 2 ,
W ̃ ( k ) = W ̃ g ( k ) = 2 π L g e L g 2 k 2 2 ,
m > N W ̃ ( 2 π m L k ) = 2 π L g m > N e L g 2 [ ( 2 π m L ) k ] 2 2 = 2 π L g m = 0 e L g 2 [ 2 π ( N + 1 + m ) L k ] 2 2 = 2 π L g m = 0 e L g 2 [ q k 0 + ( 2 m + 1 ) π L + ( r k 0 k ) ] 2 2 2 π L g m = 0 e L g 2 { ( q k 0 ) 2 + 2 q k 0 [ ( 2 m + 1 ) π L + ( r k 0 k ) ] } 2 = 2 π L g e ( 1 2 ) L g 2 [ ( q k 0 ) 2 + 2 q k 0 ( r k 0 k ) ] e π L g 2 q k 0 L 1 e 2 π L g 2 L q k 0 = 2 π L g 2 e L g 2 [ ( q k 0 ) 2 + 2 q k 0 ( r k 0 k ) ] 2 1 sinh ( π L g 2 q k 0 L ) ,
r k 0 r k 0 d k e 2 L g 2 q k 0 ( r k 0 k ) = 0 2 r k 0 d k e 2 L g 2 q k 0 k < 1 2 L g 2 q k 0
e 1 ( x ) < 1 L E 2 q k 0 e ( 1 2 ) L g 2 q 2 k 0 2 sinh ( π L g 2 q k 0 L ) .
e 2 ( x ) = n 1 f ( x + n L ) e ( 1 2 L g 2 ) ( x + n L ) 2 max { f ( x ) } n 1 [ e ( 1 2 L g 2 ) ( x + n L ) 2 + e ( 1 2 L g 2 ) ( x n L ) 2 ] max { f ( x ) } [ e ( 1 2 L g 2 ) ( x + L 2 ) 2 + e ( 1 2 L g 2 ) ( L 2 x ) 2 ] n = 1 e ( L 2 8 L g 2 ) ( 2 n 1 ) 2 .
n = 1 e ( L 2 8 L g 2 ) ( 2 n 1 ) 2 = n = 0 e ( L 2 8 L g 2 ) ( 2 n + 1 ) 2 = n = 0 e ( L 2 8 L g 2 ) ( 4 n 2 + 4 n + 1 ) n = 0 e ( L 2 8 L g 2 ) ( 8 n + 1 ) = e L 2 ( 8 L g 2 ) 1 e L 2 L g 2
e 2 ( x ) 2 max { f ( x ) } e L 2 ( 8 L g 2 ) 1 1 e L 2 L g 2 .
e ( x ) 1 L E 2 q k 0 e ( 1 2 ) L g 2 q 2 k 0 2 sinh ( π L g 2 q k 0 L ) + 2 max { f ( x ) } e L 2 ( 8 L g 2 ) 1 1 e L 2 L g 2 .
L g = L 2 q k 0 = L 2 π N q = π N q 1 k 0 ,
e ( x ) [ E k 0 π 1 2 2 π q N e π N q 2 sinh ( π 2 ) + max { f ( x ) } 2 e π N q 2 1 e 4 π N q ] = M e π N q 2 [ 1 2 N 2 π q r 1 sinh ( π 2 ) + 2 1 e 4 π N q ] ,
M = r k 0 E π .
e 1 ( x ) 1 π L I 0 ( π N q ) r k 0 r k 0 d k f ̃ ( k ) m > N sin L 2 ( 2 π m L k ) 2 q 2 k 0 2 ( 2 π m L k ) 2 q 2 k 0 2 e i 2 π m x L = 1 2 π I 0 ( π N q ) r k 0 r k 0 d k f ̃ ( k ) m > N sin ξ m ξ m e i 2 π m x L ,
ξ m [ π m k L 2 ] 2 γ 2 , γ q k 0 L 2 = π ( N + 1 2 ) q
m > N sin ξ m ξ m e i 2 π m x L = { N < m N + ( N + 1 2 ) q + m > N + ( N + 1 2 ) q } sin ξ m ξ m e i 2 π m x L .
N < m N + q ( N + 1 2 ) sin ξ m ξ m e i 2 π m x L N < m N + γ π 1 ξ m N + 1 2 N + 1 2 + γ π d x 1 ( π x k L 2 ) 2 γ 2 ,
n = N + 1 M f ( n ) N + 1 2 M + 1 2 d x f ( x )
N + 1 2 N + 1 2 + γ π d x 1 ( π x k L 2 ) 2 γ 2 N + 1 2 N + 1 2 + γ π d x 1 ( π ( x N 1 2 ) + γ ) 2 γ 2 .
d t 1 t 2 1 = ln ( t + t 2 1 ) ,
N < m < N + N q sin ξ m ξ m e i 2 π m x L 1 π 1 2 d t 1 t 2 1 = 1 π ln ( 2 + 3 ) .
m = M 1 M 2 a m b m = m = M 1 M 2 1 A m ( b m b m + 1 ) A M 2 b M 2 ,
A m m = M 1 m a m , for m M 1 .
a m = ( ) m e i 2 π m x L , b m = ( ) m sin ξ m ξ m .
m N 1 sin ξ m ξ m e i 2 π m x L = m N 1 A m ( ) m { sin ξ m ξ m + sin ξ m + 1 ξ m + 1 } ,
A m = m = N 1 m ( ) m e i 2 π m x L = ( ) N 1 e i 2 π ( N 1 + 1 ) L + ( ) m e i 2 π ( m + 1 ) L 1 + e i 2 π x L .
A m 1 cos π x L ,
m N 1 sin ξ m ξ m e i 2 π m x L 1 cos π x L m N 1 sin ξ m ξ m + sin ξ m + 1 ξ m + 1 .
sin ξ m ξ m + sin ξ m + 1 ξ m + 1 sin ξ m ξ m sin ξ m ξ m + 1 + sin ξ m + sin ξ m + 1 ξ m + 1 .
sin ξ m ξ m sin ξ m ξ m + 1 = sin ξ m ( 1 ξ m 1 ξ m + 1 ) ( 1 ξ m 1 ξ m + 1 ) .
sin ξ m + sin ξ m + 1 ξ m + 1 = sin ξ m + 1 sin ( ξ m + π ) ξ m + 1 ξ m + 1 ξ m π ξ m + 1 ,
sin a sin b = cos ( c ) ( a b ) a b ,
m N 1 sin ξ m ξ m e i 2 π m x L 1 cos π x L { m N 1 ( 1 ξ m 1 ξ m + 1 ) + m N 1 ξ m + 1 ξ m π ξ m + 1 } .
m N 1 ( 1 ξ m 1 ξ m + 1 ) = 1 ξ N 1 1 3 π q N ,
ξ m + 1 ξ m π = ξ m + 1 2 ξ m 2 ξ m + 1 + ξ m π = π ( 2 m + 1 ) π k L ξ m + 1 ξ m ξ m + 1 + ξ m .
( m π k L 2 ) ξ m = γ 2 ξ m + ( m π k L 2 ) < γ 2 2 ξ m ,
ξ m + 1 ξ m π = π γ 2 ( 2 ξ m ) + γ 2 ( 2 ξ m + 1 ) ξ m + 1 + ξ m < π γ 2 2 ξ m 2 .
m N 1 ξ m + 1 ξ m π ξ m + 1 γ 2 2 π 2 N 1 1 2 d x 1 [ ( x k L ( 2 π ) ) 2 ( γ π ) 2 ] 3 2 γ 2 2 π 2 N + N q 1 2 d x 1 [ ( x N 1 2 + γ π ) 2 ( γ π ) 2 ] 3 2 1 2 2 d t 1 ( t 2 1 ) 3 2 = 1 2 ( 2 3 1 ) ,
d t 1 ( t 2 1 ) 3 2 = t t 2 1 .
m > N sin ξ m ξ m e i 2 π m x L 1 π ln ( 2 + 3 ) + 1 cos ( π x L ) [ 1 3 π N q + 1 3 1 2 ] .
m > N sin ξ m ξ m e i 2 π m x L 2 π ln ( 2 + 3 ) + 2 cos ( π x L ) [ 1 3 π N q + 1 3 1 2 ] .
e 1 ( x ) 1 2 π I 0 ( π N q ) 2 π E 2 r k 0 { 2 π ln ( 2 + 3 ) + 2 cos ( π x L ) [ 1 3 π N q + 1 3 1 2 ] } = M I 0 ( π N q ) { 2 π ln ( 2 + 3 ) + 2 cos ( π x L ) [ 1 3 π N q + 1 3 1 2 ] } ,
e ( x ) = e 1 ( x ) M I 0 ( π N q ) { 2 π ln ( 2 + 3 ) + 2 cos ( π x L ) [ 1 3 π N q + 1 3 1 2 ] } .
e ( x ) M I 0 ( π N q ) 1 cos π x L .
m > N sin ξ m ξ m e i 2 π m x L = N < m 2 N sin ξ m ξ m e i 2 π m x L + m > 2 N sin ξ m ξ m e i 2 π m x L N < m 2 N ( 1 ξ m + 1 ξ m ) + m > 2 N ( sin ξ m ξ m e i 2 π m x L + sin ξ m ξ m e i 2 π m x L ) .
m > 2 N ( sin ξ m ξ m e i 2 π m x L + sin ξ m ξ m e i 2 π m x L ) m > 2 N [ ( sin ξ m ξ m sin ( m π k L 2 ) m π ) e i 2 π m x L + ( sin ξ m ξ m sin ( m π + k L 2 ) m π ) e i 2 π m x L ] + m > 2 N [ sin ( m π k L 2 ) m π e i 2 π m x L + sin ( m π + k L 2 ) m π e i 2 π m x L ] m > 2 N { sin ξ m ξ m sin ( m π k L 2 ) m π + sin ξ m ξ m sin ( m π + k L 2 ) m π } + m > 2 N ( ) m ( 2 i ) sin ( k L 2 ) sin ( 2 π m x L ) m π .
sin ξ ± m ξ ± m sin ( m π k L 2 ) m π = sin ξ ± m ξ ± m sin ξ ± m m π + sin ξ ± m m π sin ( m π k L 2 ) m π 1 ξ ± m 1 m π + ξ ± m ( m π k L 2 ) m π .
ξ ± m > m π k L 2 γ m π ( N + 1 2 ) π ,
1 ξ ± m 1 m π 1 m π 1 m π ( N + 1 2 ) π .
( m π k L 2 ) ξ ± m = γ 2 ( m π k L 2 ) + ξ ± m γ 2 2 ξ ± m ,
ξ ± m ( m π k L 2 ) m π γ 2 2 m π ( m π ( N + 1 2 ) π ) .
sin ξ m ξ m sin ( m π k L 2 ) m π + sin ξ m ξ m sin ( m π + k L 2 ) m π 2 [ 1 m π 1 m π ( N + 1 2 ) π ] + γ 2 m π ( m π ( N + 1 2 ) π ) = ( 2 N + 1 ) π + γ 2 π 2 m [ m ( N + 1 2 ) ] .
m > 2 N sin ξ m ξ m e i 2 π m x L + sin ξ m ξ m e i 2 π m x L m > 2 N ( ) m 2 sin ( 2 π m x L ) m π + m > 2 N ( 2 N + 1 ) π + γ 2 π 2 m [ m ( N + 1 2 ) ] .
S ( t , N ) m = N + 1 sin m π t m π .
S ( t , N ) = lim M m = N + 1 M 0 t d s cos m π s = lim M 0 t d s sin ( M + 1 2 ) π s sin ( N + 1 2 ) π s 2 sin π s 2 .
I ( t , N ) 0 t d s sin ( N + 1 2 ) π s 2 sin π s 2 = 0 t ( N + 1 2 ) d s sin π s ( 2 N + 1 ) sin π s ( 2 N + 1 ) ,
I ( t , N ) 0 1 d s 2 N + 1 sin π s sin ( π s ( 2 N + 1 ) ) S i ( π ) ( 2 N + 1 ) sin π ( 2 N + 1 ) 0.59 .
S ( t , N ) = I ( t , ) I ( t , N ) 0.5 .
m > 2 N ( ) m 2 sin ( 2 π m x L ) m π = m > 2 N 2 sin ( π m ( 2 x L 1 ) ) m π 1 .
m > 2 N 1 m ( m ( N + 1 2 ) ) < 2 N + 1 2 d x 1 x ( x ( N + 1 2 ) ) = 1 N + 1 2 ln x x ( N + 1 2 ) 2 N + 1 2 ln 2 N + 1 2
N < m 2 N ( 1 ξ m + 1 ξ m ) 2 N + 1 2 2 N + 1 2 d x 1 π 2 ( x r ( N + 1 2 ) ) 2 γ 2 2 π 1 1 q + 1 d t 1 t 2 1 = 2 π ln ( 2 q + 1 + ( 2 q + 1 ) 2 1 ) 2 π ln ( 4 q + 2 ) ,
e ( x ) = e 1 ( x ) 1 2 π I 0 ( π N q ) 2 π E 2 r k 0 [ 1 + ( 2 N + 1 ) π + γ 2 π 2 ( N + 1 2 ) ln 2 + 2 π ln ( 4 q + 2 ) ] M I 0 ( π N q ) [ 1.9 + 2 π ln ( 2 q + 1 ) + ln 2 N q 2 ] .

Metrics