Abstract

The scattering of electromagnetic waves by a slab whose refractive index is changing along its boundary planes is exactly calculated in a closed analytical form. The key feature of the calculation is the introduction of a new set of modes. As a specific example, we calculate the reflected and transmitted fields generated by the interaction of an incoming plane wave with an N-layered medium, the layers of which are perpendicular to the boundary planes of a slab.

© 2007 Optical Society of America

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  5. We would like to stress the point that Eqs. obtained above for the spectral densities are very similar to those obtained in the case of a slab composed of a medium with constant index of refraction: The modes Ej(rm,f), j=1...4 are then the plane waves eif?r with appropriate values for the refractive index, and taking the Fourier transform of Eqs. leads to the well-known set of inhomogeneous linear algebraic equations for the unknown amplitudes of the plane waves inside and outside the slab.
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  16. We recall that this, e.g., is the case if one calculates the scattering and transmission of an incoming wave by a slab.

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We would like to stress the point that Eqs. obtained above for the spectral densities are very similar to those obtained in the case of a slab composed of a medium with constant index of refraction: The modes Ej(rm,f), j=1...4 are then the plane waves eif?r with appropriate values for the refractive index, and taking the Fourier transform of Eqs. leads to the well-known set of inhomogeneous linear algebraic equations for the unknown amplitudes of the plane waves inside and outside the slab.

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We recall that this, e.g., is the case if one calculates the scattering and transmission of an incoming wave by a slab.

Cited By

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Figures (3)

Fig. 1
Fig. 1

Geometry of the system.

Fig. 2
Fig. 2

N-layer system.

Fig. 3
Fig. 3

Half-space δ refractive index.

Equations (160)

Equations on this page are rendered with MathJax. Learn more.

( 2 + k 0 2 n 2 ( r ) ) E z ( r ) = 0 ,
( 2 + η ( r ) + k 0 2 n 2 ( r ) ) H z ( r ) = 0 , η ( r ) = ε 1 ( r ) ,
( d 2 d y 2 + k 0 2 n 2 ( y ) f y 2 ) ψ ( y ; f y ) = 0 ,
f = ( f x , f y , f z ) , f 2 = 0 .
( d 2 d y 2 f y 2 ) ψ ( y ; f y ) = K ( y ; f y ) , with K ( y ; f y ) = k 0 2 n 2 ( y ) ψ ( y ; f y ) ,
h 1 ψ ( 1 ; f y , n ) h 2 ψ ( 1 ; f y , n ) = γ , ψ ( 0 ; f y , n ) = α , ψ ( 0 ; f y , n ) = β ,
δ ( y y ) = n φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) ψ ( y ; f ( y , n ) ) ,
δ ( y y ) = n c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) ,
g ( y ) = ρ ( 1 ) ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) d ( f ( y , n ) ) ,
ρ ( 1 ) ( f ( y , n ) ) = σ g ( y ) ψ ( y ; f ( y , n ) ) d y ,
g ( y ) = ρ ( 2 ) ( f ( y , n ) ) ψ ( y ; f ( y , n ) ) d ( f ( y , n ) ) .
ρ ( 2 ) ( f ( y , n ) ) = σ g ( y ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) d y .
E 1 ( r l , f ) = exp ( i f x ( x l x 1 ) + i f z z l ) φ 3 ( y 1 ; f y 1 ) ,
E 2 ( r m , f ) = ψ ( y m ; f y ) exp ( + i f x ( x m x 1 ) + i f z z m ) ,
E 3 ( r m , f ) = ψ ( y m ; f y ) exp ( i f x ( x m x 1 ) + i f z z m ) ,
E 4 ( r r , f ) = exp ( i f x ( x r x 2 ) + i f z z r ) φ 3 ( y 2 ; f y 2 ) ,
ψ 1 ( r l ) = ρ 1 ( f ( σ 1 , n ) ) E 1 ( r l , f ( σ 1 , n ) ) d f ( σ l , n ) + ψ ( inc ) ( r l ) , r l outside the front plane of the slab ,
ψ m ( r m ) = ρ 2 ( f ( σ 2 , n ) ) E 2 ( r m , f ( σ 2 , n ) ) d f ( σ 2 , n ) + ρ 3 ( f ( σ 3 , n ) ) E 3 ( r m , f ( σ 3 , n ) ) d f ( σ 3 , n ) r m inside the slab ,
ψ r ( r r ) = ρ 4 ( f ( σ 4 , n ) ) E 4 ( r r , f ( σ 4 , n ) ) d f ( σ 4 , n ) , r r outside the end plane of the slab ,
ψ l ( r σ 1 ) = ρ ( 1 , σ 1 ) ( f ( σ 1 , n ) ) φ 3 ( y 1 ; f y 1 ) exp ( i f z 1 z 1 ) d f ( σ 1 , n ) ,
ρ ( 1 , σ 1 ) ( f ( σ 1 , n ) ) = σ 1 ψ ( l ) ( r σ 1 ) c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y 1 ; f y 1 ) exp ( i f z 1 z 1 ) d r σ 1 ,
ψ m ( r σ 1 ) = ρ ( 2 , σ 1 ) ( f ( σ 1 , n ) ) ψ ( y 1 ; f y 1 ) exp ( i f z 1 z 1 ) d f ( σ 1 , n ) ,
ρ ( 2 , σ 1 ) ( f ( σ 1 , n ) ) = σ 1 ψ ( r ) ( r σ 1 ) φ 3 ( y 1 ; f y 1 ) exp ( i f z 1 z 1 ) d r σ 1 ,
ψ m ( r σ 2 ) = ρ ( 3 , σ 2 ) ( f ( σ 2 , n ) ) ψ ( y 2 ; f y 2 ) exp ( i f z 2 z ) d f ( σ 2 , n ) ,
ρ ( 3 , σ 2 ) ( f ( σ 2 , n ) ) = σ 2 ψ ( l ) ( r σ 2 ) φ 3 ( y 2 ; f y 2 ) exp ( i f z 2 z 2 ) d r σ 2 ,
ψ r ( r σ 2 ) = ρ 4 , σ 2 ( f ( σ 2 , n ) ) φ 3 ( y 2 ; f y 2 ) exp ( i f z 2 z 2 ) d f ( σ 2 , n ) ,
ρ 4 , σ 2 ( f ( σ 2 , n ) ) = σ 2 ψ ( r ) ( r σ 2 ) c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y 2 ; f y 2 ) exp ( i f z 2 z 2 ) d r σ 2 .
ψ l ( r σ 1 ) + ψ ( inc ) ( r ( σ 1 ) ) = ψ m ( r σ 1 ) , ψ m ( r σ 2 ) = ψ r ( r σ 2 ) ,
n { ψ l ( r σ 1 ) + ψ ( inc ) ( r ( σ 1 ) ) } = n ψ m ( r σ 1 ) , n ψ m ( r σ 2 ) = n ψ r ( r σ 2 ) .
ρ ( 1 , σ 1 ) ( f σ 1 ) = ρ ( 2 , σ 2 ) ( f σ 2 ) , ρ ( 3 , σ 2 ) ( f σ 3 ) = ρ ( 4 , σ 2 ) ( f σ 4 ) .
ψ m ( r σ 1 ) = ρ ( 2 , σ 1 ) ( φ ) ( f ( σ 1 , n ) ) φ 3 ( y 1 ; f y 1 ) exp ( i f z 1 z 1 ) d f ( σ 1 , n ) ,
ρ ( 2 , σ 1 ) ( φ ) ( f ( σ 1 , n ) ) = σ 1 ψ ( r ) ( r σ 1 ) ψ ( y 1 ; f y 1 ) exp ( i f z 1 z 1 ) d r σ 1 ,
ψ m ( r σ 2 ) = ρ ( 3 , σ 2 ) ( φ ) ( f ( σ 2 , n ) ) φ 3 ( y ; f y 2 ) exp ( i f z 2 z ) d f ( σ 2 , n ) ,
ρ ( 3 , σ 2 ) ( φ ) ( f ( σ 2 , n ) ) = σ 2 ψ ( l ) ( r σ 2 ) ψ ( y 2 , f y 2 ) exp ( i f z 2 z 2 ) d r σ 2 .
ρ 1 ( f ( σ , n ) ) + ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) = ρ 2 ( φ ) ( f ( σ , n ) ) + ρ 3 ( φ ) ( f ( σ , n ) ) ,
ρ 2 ( φ ) ( f ( σ , n ) ) exp ( i f ( x , n ) ( 1 , r ) d ) + ρ 3 ( φ ) ( f ( σ , n ) ) exp ( i f ( x , n ) ( 2 , l ) d ) = ρ 4 ( f ( σ , n ) ) ,
i f ( x , n ) ( 1 , l ) ρ 1 ( f ( σ , n ) ) + ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) i f ( x , n ) ( 1 , l ) = ρ 2 ( φ ) ( f ( σ , n ) ) i f ( x , n ) ( 1 , r ) ρ 3 ( φ ) ( f ( σ , n ) ) i f ( x , n ) ( 2 , l ) ,
ρ 2 ( φ ) ( f ( σ , n ) ) i f ( x , n ) ( 1 , r ) exp ( i f ( x , n ) ( 1 , r ) d ) ρ 3 ( φ ) ( f ( σ , n ) ) i f ( x , n ) ( 2 , l ) exp ( i f ( x , n ) ( 2 , l ) d ) = ρ 4 ( f ( σ , n ) ) i f ( x , n ) ( 2 , r ) ,
ψ ( inc ) ( r σ 1 ) = ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f z 1 z 1 ) d f ( σ 1 , n ) ,
ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) = c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f z 1 z 1 ) ψ ( inc ) ( r σ 1 ) d r σ 1 .
exp ( i f y ( inc ) y + i f z ( inc ) z ) = N ( b ) n { cos ( f y , n ( y 1 ) ) 1 N ( f y , n ) ( f y ( inc ) f y , n ) + 1 N ( f y , n ) ( sgn ( Im f y , n ) ) ( f y ( inc ) f y , n ) } exp ( i f z inc z ) ,
ψ l ( r σ 1 ) = ρ 1 ( f ( σ 1 , n ) ) φ 3 ( y 1 ; f y 1 ) exp ( i f z 1 z 1 ) d f ( σ 1 , n ) ,
ψ m ( r σ 1 ) = ρ 2 ( φ ) ( f ( σ 1 , n ) ) φ 3 ( y 1 ; f y 1 ) exp ( i f z 1 z 1 ) d f ( σ 1 , n ) ,
ψ m ( r σ 2 ) = ρ 3 ( φ ) ( f ( σ 2 , n ) ) φ 3 ( y 2 ; f y 2 ) exp ( i f z 2 z ) d f ( σ 2 , n ) ,
ψ r ( r σ 2 ) = ρ 4 ( f ( σ 2 , n ) ) φ 3 ( y 2 ; f y 2 ) exp ( i f z 2 z 2 ) d f ( σ 2 , n ) .
E z ( r ; f ) = ψ ( j ) ( y ; f j , y ) exp ( ± i f j x x + i f z z ) , j = 1 , 2 ,
ψ ( j ) ( y ; f j , y ) = a n ( j ) exp [ i f j y ( a δ 2 , j + y n Λ ) ] + b n ( j ) exp [ i f j y ( a δ 2 , j + y n Λ ) ] ,
( a ) f = ( f j y , f j x , f z ) , ( b ) f j x = ± ( ω n j c ) 2 f j y 2 f z 2 ,
b n ( 1 ) = 1 a b { ( C ̃ A C A ̃ ) ( 1 b n + 1 1 a n + 1 ) + C ̃ ( 1 a n 1 b n ) } ,
a n ( 1 ) = 1 a b { ( A ̃ D B C ̃ ) ( 1 a n + 1 1 b n + 1 ) + A ̃ ( 1 a n 1 b n ) } ,
C ̃ = C a ( 0 ) + D b ( 0 ) , A ̃ = A a ( 0 ) + B b ( 0 ) .
a , b = A + D 2 ± ( A + D 2 ) 2 1 .
A = exp ( i f 1 y a ) [ cos ( f 2 y b ) i 2 ( f 2 y f 1 y + f 1 y f 2 y ) sin ( f 2 y b ) ] ,
B = exp ( i f 1 y a ) [ i 2 ( f 2 y f 1 y f 1 y f 2 y ) sin ( f 2 y b ) ] ,
C = exp ( i f 1 y a ) [ i 2 ( f 2 y f 1 y f 1 y f 2 y ) sin ( f 2 y b ) ] ,
D = exp ( i f 1 y a ) [ cos ( f 2 y b ) + i 2 ( f 2 y f 1 y + f 1 y f 2 y ) sin ( f 2 y b ) ] .
A = exp ( i f 1 y a ) [ cos ( f 2 y b ) i 2 ( n 2 2 f 1 y n 1 2 f 2 y + n 1 2 f 2 y n 2 2 f 1 y ) sin ( f 2 y b ) ] ,
B = exp ( i f 1 y a ) [ i 2 ( n 2 2 f 1 y n 1 2 f 2 y n 1 2 f 2 y n 2 2 f 1 y ) sin ( f 2 y b ) ] ,
C = exp ( i f 1 y a ) [ i 2 ( n 2 2 f 1 y n 1 2 f 2 y n 1 2 f 2 y n 2 2 f 1 y ) sin ( f 2 y b ) ] ,
D = exp ( i f 1 y a ) [ cos ( f 2 y b ) + i 2 ( n 2 2 f 1 y n 1 2 f 2 y + n 1 2 f 2 y n 2 2 f 1 y ) sin ( f 2 y b ) ] .
ψ ( j = 1 ) ( y = 0 ; f y , n ) = α , y ψ ( j = 1 ) ( y = 0 ; f y , n ) = β , ψ ( j = 1 ) ( y = 1 ; f y , n ) = γ ,
n 1 2 = n l 2 , < x 0 , < y ,
n 2 = n r 2 + a δ ( y y ) , 0 x < , < y .
E 1 ( r l , f ) = φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) exp ( ± i f x x ) , < y < + , < x < 0 ,
φ 3 ( y ; f y ) = exp ( i f y y ) , f x 2 + f y 2 + f z 2 = k 0 2 n l 2 ,
E 2 ( r m , f ) = φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) exp ( ± i f x x ) , y y , 0 < x < ,
φ 3 ( y ; f y ) = exp ( i f y y ) ,
φ 3 ( y ; f y ) = exp ( i f y y ) exp ( i f z z ) exp ( ± i f x x ) a k 0 2 sin ( f y ( y y ) ) f y exp ( i f y y ) exp ( i f z z ) exp ( ± i f x x ) , + y y , 0 < x < , f x 2 + f y 2 + f z 2 = k 0 2 n r 2 .
ψ ( inc ) ( r ) = A exp ( i f y ( inc ) y + i f z ( inc ) z + i f x ( inc ) x ) ,
ψ ( l ) ( r σ ) = ρ 1 ( f ( σ , n ) ) φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) ,
ρ 1 ( f ( σ , n ) ) = σ ψ ( l ) ( r σ ) c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d r σ ,
ψ ( r ) ( r σ ) = ρ 2 ( f ( σ , n ) ) φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) ,
ρ 2 ( f ( σ , n ) ) = σ ψ ( r ) ( r σ ) φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d r σ ,
ψ ( l ) ( r σ ) + ψ ( inc ) ( r σ ) = ψ ( r ) ( r σ ) , n ψ ( l ) ( r σ ) = n ψ ( r ) ( r σ ) .
ρ 1 ( f ( σ , n ) ) + ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) = ρ 2 ( f ( σ , n ) ) ,
i f ( x , n ) ( l ) ρ 1 ( f ( σ , n ) ) + i f ( x , n ) ( l ) ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) = ρ 2 ( f ( σ , n ) ) i f ( x , n ) ( r ) ,
f ( x , n ) 2 ( l , r ) + f ( y , n ) 2 ( l , r ) + f ( z , n ) 2 ( l , r ) = k 0 2 n l , r 2 .
ρ 1 , 2 ( f ( σ , n ) ) 1 , 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) + ϵ ρ 1 , 2 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) , ψ ( y ; f y ) ψ ( unpert ) ( y ; f y ) + ϵ ψ ( pert ) ( y ; f y ) ,
ψ ( unpert ) ( y ; f y ) φ 3 ( y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) ; ψ ( pert ) ( y ; f y ) = sin ( f y ( y y ) ) f y a k 0 2 cos ( f y ( y 1 ) ) .
ψ ( l ) ( r σ ) = { ρ 1 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) + ϵ ρ 1 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) } φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) ,
ψ ( r ) ( r σ ) = { ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) + ϵ ρ 2 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) } ψ ( unpert ) ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n )
+ ϵ ψ ( pert ) ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) .
ρ 1 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) + c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f z z ) ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) d f ( σ 1 , n ) = 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) ψ ( unpert ) ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) ,
i f ( x , n ) ( l ) ρ 1 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) c n ( f ( y , n ) ) i f ( x , n ) ( l ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f z z ) ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) d f ( σ 1 , n ) = i f ( x , n ) ( r ) ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) ψ ( unpert ) ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) ,
ρ 1 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) = { ρ 2 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) ψ ( unpert ) ( y ; f y ) exp ( i f z z ) + ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) ψ ( pert ) ( y ; f y ) exp ( i f z z ) } d f ( σ , n ) ,
i f ( x , n ) ( l ) ρ 1 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) φ 3 ( y ; f y ) exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) = i f ( x , n ) ( r ) { ρ 2 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) ψ ( unpert ) ( y ; f y ) + ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) ψ ( pert ) ( y ; f y ) } exp ( i f z z ) d f ( σ , n ) .
ρ 1 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) + c n ( f ( y , n ) ) ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) = ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) ,
i f ( x , n ) ( l ) ρ 1 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) i f ( x , n ) ( l ) ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) = i f ( x , n ) ( r ) ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) .
ρ 1 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) = ρ 2 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) + ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) d f ( σ , n ) × ( c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f ( z , n ) z ) ψ ( pert ) ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f ( z , n ) z ) ) d r σ ,
i f ( x , n ) ( l ) ρ 1 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) = i f ( x , n ) ( r ) ρ 2 ( pert ) ( f ( σ , n ) ) ψ ( unpert ) ( y ; f y ) + i f ( x , n ) ( r ) ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) d f ( σ , n ) × ( c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f ( z , n ) z ) ψ ( pert ) ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f ( z , n ) z ) ) d f σ .
ψ ̃ ( inc ) ( f ( σ , n ) ) = A δ ( f x k 0 n l ) δ ( f y ) ,
ρ 1 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) = A R ( f ( σ , n ) ) δ ( f x + k 0 n l ) δ ( f y ) ,
ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) = A T ( f ( σ , n ) ) δ ( f x + k 0 n l ) δ ( f y ) ,
ψ ( asymp ) ( k 0 s x , k 0 s y ) = 2 π i k 0 ρ 1 ( f ( σ , n ) = ( k 0 s x , k 0 s y ) ) exp ( i k 0 r ) r s x .
ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) d f ( σ , n ) ( c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f ( z , n ) z ) × ψ ( pert ) ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f ( z , n ) z ) ) d r σ = A T a k 0 2 ( aperture ) c n ( f ( y , n ) ) ( y y ) d y ,
i f ( x , n ) ( r ) ρ 2 ( unpert ) ( f ( σ , n ) ) d f ( σ , n ) ( c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f ( z , n ) z ) × ψ ( pert ) ( y ; f ( y , n ) ) exp ( i f ( z , n ) z ) ) d r σ = A T a k 0 2 i f k 0 n r ( aperture ) c n ( f ( y , n ) ) ( y y ) d y .
n 2 = 1 , < x 0 , < y , n 2 = 1 + a δ ( y y ) , 0 x < , < y .
ψ ( y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) + 0 y sin ( f y ( y τ ) ) f y { k 0 2 a δ ( τ y ) ψ ( τ ; f y ) } d τ .
ψ ( y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) , 0 y y ,
ψ ( y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) sin ( f y ( y y ) ) f y a k 0 2 ψ ( y ; f y ) , 1 y y .
ψ ( y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) .
ψ ( y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) , 0 y y ,
ψ ( y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) sin ( f y ) ( y y ) f y a k 0 2 cos ( f y ( y 1 ) ) , 1 y y .
( d 2 d y 2 f y 2 ) G ( y , y ; f y ) = δ ( y y ) ,
G ( o , y ) = ρ α , G ( o , y ; f y ) = ρ β ,
0 1 G ( y , y ; f y ) K ( y ) d y ρ γ + β G ( 0 , y ; f y ) α G ( 0 , y ; f y ) = 0 ,
0 y φ 4 ( z , y ; f y ) K ( z ) d z + β φ 4 ( 0 , y ; f y ) α ( d d z ) ( φ 4 ( z , y ; f y ) ) z = 0 0 1 K ( z ) φ 3 ( z ; f y ) d z γ + β φ 3 ( 0 ; f y ) α φ 3 ( 0 ; f y ) φ 3 ( y ; f y ) ,
0 y φ 5 ( z , y ; f y ) K ( z ) d z y 1 φ 3 ( z ; f y ) φ 4 ( y , y ; f y ) K ( z ) d z 0 1 K ( z ) φ 3 ( z ; f y ) d z γ + β φ 3 ( 0 ; f y ) α φ 3 ( 0 ; f y ) + γ φ 4 ( y , y ; f y ) + β φ 5 ( 0 , y , y ; f y ) α ( d d z ) ( φ 5 ( z , y , y ; f y ) ) z = 0 0 1 K ( z ) φ 3 ( z ; f y ) d z γ + β φ 3 ( 0 ; f y ) α φ 3 ( 0 ; f y ) ,
( d 2 d y 2 f y 2 ) φ 1 4 ( y ; f y ) = 0
φ 1 ( 1 ; f y ) = 1 , φ 1 ( 1 ; f y ) = 0 ,
φ 2 ( 1 ; f y ) = 0 , φ 2 ( 1 ; f y ) = 1 ,
φ 3 ( y ; f y ) = h 1 φ 1 ( y ; f y ) + h 2 φ 2 ( y ; f y ) ,
φ 4 ( y , y ; f y ) = φ 1 ( y ; f y ) φ 2 ( y , f y ) φ 2 ( y ; f y ) φ 1 ( y ; f y ) ,
φ 5 ( z , y , y ; f y ) = φ 4 ( z , y ; f y ) φ 3 ( y ; f y ) φ 3 ( z ; f y ) φ 4 ( y , y ; f y ) ,
φ 1 ( y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) ,
φ 2 ( y ; f y ) = sin ( f y ( y 1 ) ) f y ,
φ 3 ( y ; f y ) = φ 1 = cos ( f y ( y 1 ) ) ,
φ 4 ( y , y ; f y ) = sin ( f y ( y y ) ) f y ,
φ 5 ( z , y , y ; f y ) = cos ( f y ( y 1 ) ) sin ( f y ( z y ) ) f y .
δ ( y y ) = n φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) ψ ( y ; f ( y , n ) ) ,
C G ( y , y ; f y ) f y d f y = n φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) ψ ( y ; f ( y , n ) ) ,
N ( f y , n ) 0 1 φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) K ( y ) d y γ + β φ 3 ( 0 ; f ( y , n ) ) α φ 3 ( 0 ; f ( y , n ) ) = 0 .
( d 2 d y 2 f y , n 2 ) ψ ( y ; f ( y , n ) ) = K ( y ) ,
h 1 ψ ( 1 ; f ( y , n ) ) h 2 ψ ( 1 ; f ( y . n ) ) = γ ,
ψ ( 0 ; f ( y , n ) ) = α ,
ψ ( 0 ; f ( y , n ) ) = β .
0 1 φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) ψ ( y ; f y , m ) d y = δ n , m .
K ( y ; f y ) = f 0 2 n 2 ( y ) ψ ( y ; f y ) .
ψ ( 0 ; f ( y , n ) ) = α , ψ ( 0 ; f ( y , n ) ) = β ,
δ ( y y ) = φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) ψ ( y ; f ( y , n ) ) .
( d 2 d y 2 + f 0 2 n 2 ( y ) + f ( y , n ) ) ψ ( y ; f ( y , n ) ) = K ( y ; f ( y , n ) )
h 1 ψ ( 1 ; f ( y , n ) ) h 2 ψ ( 1 ; f ( y , n ) ) = γ ,
ψ ( 0 ; f ( y , n ) ) = α ,
ψ ( 0 ; f ( y , n ) ) = β .
lim λ m ( λ ) f ( λ ) ( l ( λ ) + m ( λ ) ) l ( λ ) = 0 { λ 1 } ,
λ j f ( λ j ) l ( λ j ) + ν n f ( ν n ) m ( ν n ) l ( ν n ) ( l ( ν n ) + m ( ν n ) ) = 0 .
1 2 π i λ = c m ( λ ) f ( λ ) ( l ( λ ) + m ( λ ) ) l ( λ )
f ( f y ) = ( β φ 4 ( 0 , y ; f y ) α d d z ( φ 4 ( z , y ; f y ) ) z = 0 ) φ 3 ( y ; f y ) , if y y ,
f ( f y ) = γ φ 4 ( y , y ; f y ) + β ( φ 5 ( 0 , y , y ; f y ) α d d z ( φ 5 ( z , y , y ; f y ) ) z = 0 ) φ 3 ( y ; f y ) , if y y ,
( l ( f y ) ) = γ + β φ 3 ( 0 ; f y ) α φ 3 ( 0 ; f y ) ,
( m ( f y ) ) = 0 1 K ( y ; f y ) φ 3 ( y ; f y ) d y ,
K ( y ; f y ) = f 0 2 n 2 ( y ) ψ ( y ; f y ) .
l ( f y ) + m ( f y ) N ( f y , n ) = 0 1 K ( y ; f y ) φ 3 ( y ; f y ) d y γ + β φ 3 ( 0 ; f y ) α φ 3 ( 0 ; f y ) ,
0 = n φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) m ( f y , n ) N ( f y , n ) l ( f y , n ) + j φ 3 ( y ; f ( y , j ) ) φ 3 ( y ; f ( y , j ) ) .
δ ( y y ) = n c n ( f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) φ 3 ( y ; f ( y , n ) ) ,
c n ( f ( y , n ) ) = m ( f y , n ) N ( f y , n ) l ( f y , n ) .
1 2 π i λ = c φ 3 ( y ; f y ) N ( f y ) ( f y b ) d f y ,
N ( f y ) = 0 1 K ( y ; f y ) φ 3 ( y ; f y ) d y γ + β φ 3 ( 0 ; f y ) α φ 3 ( 0 ; f y ) , K ( y ; f y ) = f 0 2 n 2 ( y ) ψ ( y ; f y )
1 2 π i λ = c φ 3 ( y ; f y ) N ( f y ) ( f y b ) d f y = n φ 3 ( y ; f y , n ) N ( f y , n ) ( f y , n b ) + φ 3 ( y ; b ) N ( b ) ,
φ 3 ( y ; f y ) = O { exp ( f y ( sin ( ϕ ) ( 1 y ) ) } , if f y = f y ( = c on the contour ) exp ( i ϕ ) ,
ψ ( y ; f y ) = O { exp ( f y ( sin ( ϕ ) ( 1 y ) ) ) } ;
lim c 1 2 π i λ = c φ 3 ( y ; f y ) N ( f y ) ( y b ) d f y = 0 = n φ 3 ( y ; f y , n ) N ( f y , n ) ( f y , n b ) + φ 3 ( y ; f b ) N ( f b ) .
φ 3 ( y ; b ) = N ( b ) n φ 3 ( y ; f y , n ) N ( f y , n ) ( b f y , n ) .
cos ( b ( y 1 ) ) = N ( b ) n cos ( f y , n ( y 1 ) ) N ( f y , n ) ( b f y , n ) .
Hilb { f ( b ) } = 1 π P + f ( b ) b b d b ,
cos H ( b ( y 1 ) ) = sin ( b ( y 1 ) ) ,
Hilb { 1 b f y , n } = i ( b f y , n ) 1 , if Im f y , n > 0 ,
Hilb { 1 b f y , n } = i ( b f y , n ) 1 , if Im f y , n < 0 ,
sin ( b ( y 1 ) ) = N ( b ) n i cos ( f y , n ( y 1 ) ) N ( f y , n ) ( sgn ( Im f y , n ) ) ( b f y , n ) .
exp ( i f y ( inc ) y + i f z ( inc ) z ) = N ( b ) n { cos ( f y , n ( y 1 ) ) 1 N ( f y , n ) ( f y ( inc ) f y , n ) + 1 N ( f y , n ) ( sgn ( Im f y , n ) ) ( f y ( inc ) f y , n ) } .

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