## Abstract

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### Equations (28)

$F 1 = ( n − 1 ) / r 1 and F 2 = − ( n − 1 ) / r 2 ,$
$F = F 1 + F 2 − c F 1 F 2 .$
$F V = 1 − c F 1 = F 1 V − F 2 .$
$S = Z F , S ′ = Z ′ F , and φ = F 1 F$
$S = ( 1 − c φ ) { S ′ ( 1 − c φ ) − 1 } 1 + c { S ′ ( 1 − c φ ) − 1 } .$
${ ( φ 3 − X ) c 2 + ( n − 1 ) ( n 3 − n φ − φ 2 + X n ) c − n 2 ( n − 1 ) 2 } S 2 + 2 { ( φ 3 − X ) c 2 φ − ( φ 3 − X + Y φ ) c + Y } S − ( 1 − c φ ) { ( 1 − c φ ) X + c φ 4 } = 0 ,$
$X = n { ( n + 2 ) φ 2 − n ( 2 n + 1 ) φ + n 3 } , Y = n ( n − 1 ) { ( n + 1 ) φ − n 2 } .$
$F 1 φ = Z ′ S ′ = V ( 1 − c F 1 ) ,$
$H F 1 7 + J F 1 6 + K F 1 5 + L F 1 4 + M F 1 3 + N F 1 2 + P F 1 + Q = 0 ,$
$H = α 1 c 7 + α 2 c 6 + α 3 c 5 + α 4 c 4 , J = β 1 c 6 + β 2 c 5 + β 3 c 4 + β 4 c 3 , K = γ 1 c 5 + γ 2 c 4 + γ 3 c 3 + γ 4 c 2 , L = δ 1 c 4 + δ 2 c 3 + δ 3 c 2 + δ 4 c , M = ∊ 1 c 3 + ∊ 2 c 2 + ∊ 3 c , N = η 1 c 2 + η 2 c + η 3 , P = θ 1 c + θ 2 , Q = λ ;$
$α 1 = − n 2 ( 1 + V ) V 6 ; α 2 = { n 2 − ( 2 n + 1 ) V − n ( n + 2 ) V 2 } V 4 ; α 3 = − { n ( n + 2 ) ( 1 + V ) + 2 } V 4 ; − 3 α 4 = β 4 = − γ 4 = 3 δ 4 = 3 V 3 ; β 1 = n 2 { 2 ( n − 1 ) ( 1 + V ) 2 Z ′ + ( 6 + 7 V ) V 2 } V 4 ; β 2 = 2 { n 2 ( 1 + V ) + n ( n 2 − 1 ) ( 1 + V ) V − V } ( 1 + V ) V 2 Z ′ + { 6 n ( n + 2 ) V 2 + 5 ( 2 n + 1 ) V − 4 n 2 } V 4 ; β 3 = { n ( n + 2 ) ( 4 + 5 V ) + 8 } V 4 − 2 ( 1 + V ) V 2 Z ′ ; γ 1 = − n 2 [ ( 1 + V ) Z ′ { ( n − 1 ) 2 ( 1 + V ) 2 Z ′ + 4 ( n − 1 ) ( 2 + 3 V ) V 2 } + 3 ( 5 + 7 V ) V 4 ] V 2 ; γ 2 = { n 2 ( 1 + V 3 ) + ( 3 n 2 − 1 − V ) ( 1 + V ) V } Z ′ 2 − 2 [ n 2 ( 2 + 3 V ) Z ′ + ( n 2 − 1 ) { 3 ( n + 1 ) + 4 ( 2 n + 1 ) V + 5 n V 2 } V Z ′ + ( 5 V − 3 n 2 ) V 2 + 10 n V 3 ] V 2 − 15 n ( n + 2 ) V 6 ; γ 3 = 2 { ( 2 + 3 V ) Z ′ − 3 ( n 2 + 2 n + 2 ) V 2 − 5 n ( n + 2 ) V 3 } V 2 ; δ 1 = n 2 [ ( n − 1 ) 2 ( 1 + V ) 2 ( 2 + 5 V ) Z ′ 2 + 2 ( n − 1 ) ( 6 + 20 V + 15 V 2 ) V 2 Z ′ + 5 ( 4 + 7 V ) V 4 ] V 2 ; δ 2 = 2 [ { n 2 + 3 ( n 3 + 2 n 2 − n − 1 ) V + 6 ( n 2 − 1 ) ( 2 n + 1 ) V 2 + 10 n ( n 2 − 1 ) V 3 } Z ′ + { 10 n ( n + 2 ) V 2 + 5 ( 2 n + 1 ) V − 2 n 2 } V 2 ] V 2 − ( 1 + V ) { 3 n 2 ( 1 + V ) − 1 + 3 V ) } V Z ′ 2 ; δ 3 = 2 [ { 5 n ( n + 2 ) V + 2 ( n 2 + 2 n + 2 ) } V 2 − ( 1 + 3 V ) Z ′ ] V 2 ; ∊ 1 = − n 2 { ( n − 1 ) 2 ( 1 + V ) ( 1 + 8 V + 10 V 2 ) Z ′ 2 + 8 ( n − 1 ) ( 1 + 5 V + 5 V 2 ) V 2 Z ′ + 5 ( 3 + 7 V ) V 4 } V 2 ; ∊ 2 = { 3 n 2 ( 1 + V ) − ( 2 + 3 V ) } V 2 Z ′ 2 − 2 { n 3 + 2 n 2 − n − 1 + 2 ( n 2 − 1 ) ( 2 + 4 n + 5 n V ) V } V 3 Z ′ − { 15 n ( n + 2 ) V 2 + 5 ( 2 n + 1 ) V − n 2 } V 4 ; ∊ 3 = 2 V 3 Z ′ − { 5 n ( n + 2 ) V + n 2 + 2 n + 2 } V 4 ; η 1 = n 2 { ( n − 1 ) 2 ( 3 + 12 V + 10 V 2 ) Z ′ 2 + 2 ( n − 1 ) ( 1 + 10 V + 15 V 2 ) V Z ′ + 3 ( 2 + 7 V ) V 3 } V 3 ; η 2 = { ( 2 n + 1 ) V 2 + 6 n ( n + 2 ) V 3 + 2 ( n 2 − 1 ) ( 1 + 2 n + 5 n V ) V Z ′ − ( n 2 − 1 ) Z ′ 2 } V 3 ; η 3 = n ( n + 2 ) V 5 ; θ 1 = − n 2 { ( n − 1 ) 2 ( 3 + 5 V ) Z ′ 2 + 4 ( n − 1 ) ( 1 + 3 V ) V Z ′ + ( 1 + 7 V ) V 2 } V 4 ; θ 2 = − n { ( n + 2 ) V + 2 ( n 2 − 1 ) Z ′ } V 5 ; λ = n 2 { ( n − 1 ) Z ′ + V } 2 V 5 .$
$N 0 = n ( n + 2 ) F 5 ; P 0 = − 2 n ( n 2 − 1 ) F 5 Z ′ − n ( n + 2 ) F 6 ; Q 0 = n 2 { ( n − 1 ) Z ′ + F } ² F 5 .$
$α F 1 2 + β F 1 + γ = 0 , ( c = 0 ) ,$
$α = n + 2 , β = 2 ( n 2 − 1 ) Z ′ − ( n + 2 ) F , γ = n { F + ( n − 1 ) Z ′ } 2 .$
$2 ( n + 2 ) φ − 2 ( n 2 − 1 ) S ′ − ( n + 2 ) = ± 2 ( n − 1 ) ( S ′ − x 1 ) ( S ′ − x 2 ) , ( F = 1 ) ,$
$( n + 2 ) ( n − 1 ) ± n n ( n + 2 ) 2 ( n − 1 ) .$
$2 ( n + 2 ) φ − 2 ( n 2 − 1 ) S ′ − ( n + 2 ) = 0 ,$
$S ′ = x 1 , φ = n 2 { n + ( n − 1 ) n ( n + 2 ) n + 2 }$
$S ′ = x 2 , φ = n 2 { n − ( n − 1 ) n ( n + 2 ) n + 2 } .$
$6.76923 φ − 2.5200 S ′ − 3.3842 = ± ( S ′ − 5.1798 ) ( S ′ + 1.6598 ) .$
$H = − 1193114 × 10 − 15 ; M = − 55.33859 ; J = + 1922575 × 10 − 12 ; N = + 7 388.700 ; K = − 1139709 × 10 − 9 ; P = − 202 292.3 L = + 3210912 × 10 − 7 ; Q = + 1 455 092 .$
$H = − 1410243 × 10 − 13 ; M = − 3 725.887 ; J = + 1702760 × 10 − 10 ; N = + 301 160.6 ; K = − 8880752 × 10 − 8 ; P = − 7 834 748 . ; L = + 23.81681 ; Q = + 62 794 569 .$
$F 2 = V − F 1 1 − c F 1 ,$
$x 2 ′ = z ′ − γ 2 , sin α 2 ′ = − x 2 ′ sin θ 3 r 2 , sin α 2 = sin α 2 ′ n , θ 2 = θ 3 − α 2 ′ + α 2 , x 2 = − r 2 sin α 2 sin θ 2 , a = r 2 − r 1 + d , x 1 ′ = x 2 + a , sin α 1 ′ = − x 1 ′ sin θ 2 r 1 , sin α 1 = n sin α 1 ′ .$
$D 1 = sin ( α 1 − α 1 ′ ) r 1 sin α 1 ′ , D 2 = n · sin ( α 2 − α 2 ′ ) r 2 sin α 2 ′ , h 1 = r 1 sin ( α 1 − θ 1 ) , h 2 = r 2 sin ( α 2 − θ 2 ) , t = h 2 − h 1 n · sin θ 2 .$
$B 1 ′ = D 1 , A 1 ′ = D 1 cos 2 α 1 ′ , B 2 = B 1 ′ 1 − t B 1 ′ , A 2 = A 1 ′ 1 − t A 1 ′ , B 2 ′ = B 2 + D 2 , A 2 ′ = P 2 cos 2 α 2 + D 2 cos 2 α 2 ′ .$
$a ′ − a b ′ − b = ∊ , u = b ∊ , and u ′ = b ′ ∊ ,$
$a ″ = a − u = a ′ − u ′ .$